Se uma única operação elementar de linha transforma a matriz
em
, mostre diretamente - considerando separadamente os três casos - que toda solução de
também é uma solução de
.
Passo 1
O enunciado considera dois sistemas lineares
onde
e
são obtidos a partir de
e
por uma única operação elementar de linha. Vamos mostrar, nos três casos possíveis, que se
satisfaz
então necessariamente
.
Passo 2
Caso 1: troca de duas linhas.
Suponha que e
foram obtidos de
e
trocando as linhas
e
. Se
resolve
, então a equação de índice
em
é
Suponha que
e a de índice
é
No sistema
essas duas equações aparecem simplesmente trocadas: a nova
-ésima é
e a nova
-ésima é
. Como ambas eram verdadeiras em
, continuam verdadeiras em
, e todas as outras linhas não mudaram. Logo
satisfaz
.
Passo 3
Caso 2: multiplicar uma linha por
.
Suponha que em ,
a linha
de
,
tenha sido multiplicada por
. Em
temos
Suponha que em
Multiplicando essa igualdade por
obtemos
No sistema
a
-ésima equação é exatamente
com
. Logo
também satisfaz essa linha. As demais linhas não foram alteradas, então
satisfaz todo
.
Passo 4
Caso 3: adicionar
vezes a linha
à linha
.
Suponha que em ,
a linha
tenha virado
e o correspondente
virou
. Se
resolve
, então
Suponha que em
Somando a primeira com
vezes a segunda dá
que é exatamente a nova
-ésima equação de
. Como as outras linhas permanecem iguais,
resolve
.
Resposta
Em cada um dos três casos, partindo de
obteve-se diretamente que
. Portanto toda solução de
também é solução de
.