Se uma única operação elementar de linha transforma a matriz A1 em A2, mostre diretamente - considerando separadamente os três casos - que toda solução de LS1 também é uma solução de LS2.

Passo 1

O enunciado considera dois sistemas lineares
LS1:;A1x=b1 e LS2:;A2x=b2,
onde A2 e b2 são obtidos a partir de A1 e b1 por uma única operação elementar de linha. Vamos mostrar, nos três casos possíveis, que se x satisfaz A1x=b1 então necessariamente A2x=b2.

Passo 2

Caso 1: troca de duas linhas.
Suponha que A2 e b2 foram obtidos de A1 e b1 trocando as linhas i e j. Se x resolve A1x=b1, então a equação de índice i em LS1 é
Li(x)=b1,i,
e a de índice j é
Lj(x)=b1,j
No sistema LS2 essas duas equações aparecem simplesmente trocadas: a nova i-ésima é Lj(x)=b1,j e a nova j-ésima é Li(x)=b1,i. Como ambas eram verdadeiras em LS1, continuam verdadeiras em LS2, e todas as outras linhas não mudaram. Logo x satisfaz A2x=b2.

Passo 3

Caso 2: multiplicar uma linha por alphaneq0.
Suponha que em A2, b2 a linha i de A1, b1 tenha sido multiplicada por alpha. Em LS1 temos
Li(x)=b1,i
Multiplicando essa igualdade por alpha obtemos
alpha,Li(x)=alpha,b1,i
No sistema LS2 a i-ésima equação é exatamente alpha,Li(x)=b2,i com b2,i=alpha,b1,i. Logo x também satisfaz essa linha. As demais linhas não foram alteradas, então x satisfaz todo LS2.

Passo 4

Caso 3: adicionar alpha vezes a linha j à linha i.
Suponha que em A2, b2 a linha i tenha virado Li+alpha,Lj e o correspondente b1,i virou b2,i=b1,i+alpha,b1,j. Se x resolve LS1, então
Li(x)=b1,i e Lj(x)=b1,j
Somando a primeira com alpha vezes a segunda dá
Li(x)+alpha,Lj(x) = b1,i+alpha,b1,j,
que é exatamente a nova i-ésima equação de LS2. Como as outras linhas permanecem iguais, x resolve A2x=b2.

Resposta

Em cada um dos três casos, partindo de A1x=b1 obteve-se diretamente que A2x=b2. Portanto toda solução de LS1 também é solução de LS2.

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