Explique em cada caso abaixo porque não existe uma transformação linear:
(b)
que seja injetiva;
(b)
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que não existe transformação linear
que seja injetiva. O conteúdo necessário envolve a definição de injetividade de uma transformação linear, o conceito de núcleo e imagem, e o Teorema da Dimensão (também chamado de Teorema Núcleo–Imagem).
Passo 2
Uma transformação linear
é injetiva se, e somente se, o seu núcleo for trivial:
Além disso, pelo Teorema da Dimensão temos
Passo 3
Sabemos que
e
. Como
, vale
Se
fosse injetiva, teríamos
. Pelo Teorema da Dimensão isso implicaria
o que contradiz o fato de
.
Passo 4
A contradição mostra que não pode existir transformação linear injetiva de
em
, pois o posto exigido seria maior que a dimensão do contradomínio.
Resposta
Não existe transformação linear
que seja injetiva.