Explique em cada caso abaixo porque não existe uma transformação linear:
(b) T: R^3 R^2 que seja injetiva;

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que não existe transformação linear Tcolon R^3toR^2 que seja injetiva. O conteúdo necessário envolve a definição de injetividade de uma transformação linear, o conceito de núcleo e imagem, e o Teorema da Dimensão (também chamado de Teorema Núcleo–Imagem).

Passo 2

Uma transformação linear T é injetiva se, e somente se, o seu núcleo for trivial:
T injetivaLong<=ftrightarrow ker(T)=0
Além disso, pelo Teorema da Dimensão temos
dim(ker T)+diml(ImTr) =diml(R^3r)

Passo 3

Sabemos que dim(R^3)=3 e dim(R^2)=2. Como ImTsubseteqR^2, vale
diml(ImTr)<=2
Se T fosse injetiva, teríamos dim(ker T)=0. Pelo Teorema da Dimensão isso implicaria
diml(ImTr) =diml(R^3r)-dim(ker T) =3-0=3,
o que contradiz o fato de dim(ImT)<=2.

Passo 4

A contradição mostra que não pode existir transformação linear injetiva de R^3 em R^2, pois o posto exigido seria maior que a dimensão do contradomínio.

Resposta

Não existe transformação linear Tcolon R^3toR^2 que seja injetiva.

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