Sejam e e um operador linear em tal que .
(b) Para que valores de e o núcleo de terá dimensão 1?
Passo 1
O enunciado dá os vetores
e define o operador linear tal que .
Pelo Teorema da Dimensão (rank–nullity), temos
Para que é necessário e suficiente que .
Logo vamos encontrar para quais a família tem posto exatamente .
Passo 2
O posto da família é o posto da matriz cujas colunas são :
Para ter posto <=2 basta que det A=0. Calculemos esse determinante:
det A =1cdotl(0cdot c - bcdot1r) - acdotl(2cdot c - bcdot(-1)r) +1cdotl(2cdot1 - 0cdot(-1)r)
Passo 3
Desenvolvendo,
det A =1cdot(0 - b) - acdot(2c + b) + (2 - 0) = -b - a,(2c + b) + 2
Para det A=0 obtemos a condição
2 - b - a,(2c + b) = 0 Long<=ftrightarrow a,(2c + b) = 2 - b
Passo 4
Convém garantir que sob essa condição o posto não caia para 1. Note que u1 e u2 nunca são colineares (não há alpha tal que (a,0,1)=alpha(1,2,-1)), logo já garantimos posto >=2 sempre. Assim, sempre que det A=0 o posto fica exatamente 2.