Sejam u1=(1,2,-1), u2=(a, 0,1) e u3=(1, b, c) e T um operador linear em R^3 tal que Im T=[u1, u2, u3].
(b) Para que valores de a, b e c o núcleo de T terá dimensão 1?

Passo 1

O enunciado dá os vetores
u1=(1,2,-1), u2=(a,0,1), u3=(1,b,c)
e define o operador linear T:R^3toR^3 tal que
Im,T=Spanu1,u2,u3.
Pelo Teorema da Dimensão (rank–nullity), temos
dimker T + dimIm,T = 3
Para que dimker T=1 é necessário e suficiente que
dimIm,T=2.
Logo vamos encontrar para quais a,b,c a família
u1,u2,u3 tem posto exatamente 2.

Passo 2

O posto da família é o posto da matriz cujas colunas são u1,u2,u3:
A = 1 & a & 1 2 & 0 & b -1 & 1 & c
Para ter posto <=2 basta que det A=0. Calculemos esse determinante:
det A =1cdotl(0cdot c - bcdot1r) - acdotl(2cdot c - bcdot(-1)r) +1cdotl(2cdot1 - 0cdot(-1)r)

Passo 3

Desenvolvendo,
det A =1cdot(0 - b) - acdot(2c + b) + (2 - 0) = -b - a,(2c + b) + 2
Para det A=0 obtemos a condição
2 - b - a,(2c + b) = 0 Long<=ftrightarrow a,(2c + b) = 2 - b

Passo 4

Convém garantir que sob essa condição o posto não caia para 1. Note que u1 e u2 nunca são colineares (não há alpha tal que (a,0,1)=alpha(1,2,-1)), logo já garantimos posto >=2 sempre. Assim, sempre que det A=0 o posto fica exatamente 2.

Resposta

O núcleo de T terá dimensão 1 precisamente quando
2 - b - a,(2c + b) = 0,
ou seja, para todos os (a,b,c) que satisfazem
a,(2c + b) = 2 - b

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