Se a matriz de uma transformação linear, T: R^2 R^3, é [T]C^B=[cc3 & 1 2 & 5 1 & -1], onde B=(-1,1),(1,0) e C=(1,1,-1),(2,1,0),(1,1,0) são as bases de R^2 e R^3 respectivamente.
(b) Qual a imagem do vetor (2,-3) pela T ?

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear Tcolon R^2toR^3 cuja matriz na base de domínio B=(-1,1),(1,0) e na base de contra-imagem C=(1,1,-1),(2,1,0),(1,1,0) é
[T]C^B = 3 & 1 2 & 5 1 & -1
Queremos calcular T(2,-3) no sistema de coordenadas canônico de R^3. Para isso, seguimos três etapas: (i) escrever (2,-3) em coordenadas da base B; (ii) aplicar a matriz para obter as coordenadas em C; (iii) converter essas coordenadas em combinação de vetores de C no sistema canônico.

Passo 2

Expressar
Isto gera o sistema
Da segunda equação vem na base são

Passo 3

Calcular as coordenadas de T(2,-3) na base C multiplicando [T]C^B por [v]B:
[T(v)]C = 3 & 1 2 & 5 1 & -1 -3-1 = 3cdot(-3) + 1cdot(-1) 2cdot(-3) + 5cdot(-1) 1cdot(-3) + (-1)cdot(-1) = -10 -11 -2

Passo 4

Converter l[T(v)r]C = (-10,-11,-2) em coordenadas canônicas usando
C = ,c1=(1,1,-1),;c2=(2,1,0),;c3=(1,1,0)
Temos
T(2,-3) = -10,c1 ;-;11,c2 ;-;2,c3
Computando componente a componente,
x &= -10cdot1 + (-11)cdot2 + (-2)cdot1 = -10 -22 -2 = -34, y &= -10cdot1 + (-11)cdot1 + (-2)cdot1 = -10 -11 -2 = -23, z &= -10cdot(-1) + (-11)cdot0 + (-2)cdot0 = 10

Resposta

T(2,-3) = (-34,,-23,,10)

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