Seja um operador linear tal que .
(c) é sobrejetora? Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado define um operador linear
pelas imagens
Queremos saber se é sobrejetora, ou seja, se atinge todo polinômio de grau .
Passo 2
Em espaços vetoriais de mesma dimensão finita (), um operador linear é sobrejetor se, e somente se, tem posto máximo (isto é, posto ), o que equivale a dizer que sua matriz na base canônica é invertível.
Passo 3
Na base , escrevemos as imagens como vetores de coordenadas:
Assim a matriz de é
Passo 4
Calculamos o determinante de A:
det A =1cdotl(1cdot(-2)-1cdot1r) -0 +1cdotl(1cdot1-1cdot0r) =-3+1=-2neq0
Como det Aneq0, a matriz é invertível e tem posto 3.
Resposta
T é sobrejetora, pois sua matriz na base canônica tem determinante -2neq0, garantindo posto máximo e, portanto, imagem igual a P2.