Seja T: P2 P2 um operador linear tal que T(1)=1+t, T(t)=t+t^2, T(t^2)=1+t-2 t^2.
(c) T é sobrejetora? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado define um operador linear
T:P2to P2
pelas imagens
T(1)=1+t, T(t)=t+t^2, T(t^2)=1+t-2t^2
Queremos saber se T é sobrejetora, ou seja, se atinge todo polinômio de grau <=2.

Passo 2

Em espaços vetoriais de mesma dimensão finita ( dim P2=3), um operador linear é sobrejetor se, e somente se, tem posto máximo (isto é, posto =3), o que equivale a dizer que sua matriz na base canônica é invertível.

Passo 3

Na base 1,t,t^2, escrevemos as imagens como vetores de coordenadas:
T(1)=(1,1,0), T(t)=(0,1,1), T(t^2)=(1,1,-2)
Assim a matriz de T é
A= 1 & 0 & 1 1 & 1 & 1 0 & 1 & -2

Passo 4

Calculamos o determinante de A:
det A =1cdotl(1cdot(-2)-1cdot1r) -0 +1cdotl(1cdot1-1cdot0r) =-3+1=-2neq0
Como det Aneq0, a matriz é invertível e tem posto 3.

Resposta

T é sobrejetora, pois sua matriz na base canônica tem determinante -2neq0, garantindo posto máximo e, portanto, imagem igual a P2.

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