Explique em cada caso abaixo porque não existe uma transformação linear:
(a)
que seja sobrejetiva;
(a)
Passo 1
O enunciado pede uma transformação linear
que seja sobrejetiva (isto é, cujo gráfico “atinge” todo
). Para mostrar que isso é impossível, vamos usar o Teorema do Posto e da Nulidade, que relaciona a dimensão do domínio com o posto (
) e a nulidade (
) de
.
Passo 2
Pelo Teorema do Posto e da Nulidade vale
Isto implica
Mas, se
fosse sobrejetiva, teríamos
o que contradiz
. Logo, não há como
ser sobrejetiva.
Resposta
Não existe transformação linear
que seja sobrejetiva, pois o posto de
não pode alcançar a dimensão
.