Explique em cada caso abaixo porque não existe uma transformação linear:
(a) T: R^5 R^6 que seja sobrejetiva;

Passo 1

O enunciado pede uma transformação linear
T colon R^5 to R^6
que seja sobrejetiva (isto é, cujo gráfico “atinge” todo R^6). Para mostrar que isso é impossível, vamos usar o Teorema do Posto e da Nulidade, que relaciona a dimensão do domínio com o posto ( rank) e a nulidade ( nullity) de T.

Passo 2

Pelo Teorema do Posto e da Nulidade vale
rank(T) + nullity(T) = dim(R^5) = 5
Isto implica
rank(T) <= 5
Mas, se T fosse sobrejetiva, teríamos
Im(T) = R^6 Longrightarrow rank(T) = dim(Im(T)) = dim(R^6) = 6,
o que contradiz rank(T)<=5. Logo, não há como T ser sobrejetiva.

Resposta

Não existe transformação linear Tcolon R^5toR^6 que seja sobrejetiva, pois o posto de T não pode alcançar a dimensão 6.

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