Seja L: P3(R) P3(R) definida por L(a t^3+b t^2+c t+d)=(a-b) t^3+(c-d) t.
(a) O vetor t^3+t^2+t-1 pertence a N(L) ?

Passo 1

O enunciado define um operador linear L:P3(R)toP3(R) por
Ll(a t^3+b t^2+c t+dr) = (a-b),t^3 + (c-d),t
Ele pergunta se o polinômio t^3+t^2+t-1 pertence ao núcleo de L, ou seja a N(L). Para isso precisamos achar as condições em que L(p)=0.

Passo 2

Um polinômio genérico p(t)=a t^3+b t^2+c t+d está em N(L) se e somente se
L(p)=0 Long<=ftrightarrow (a-b)=0e(c-d)=0,
isto é
a=b e c=d

Passo 3

No polinômio dado
p(t)=t^3+t^2+t-1
os coeficientes são
a=1, b=1, c=1, d=-1
Verificando as condições do núcleo:
a=bLongrightarrow 1=1 (ok),
c=dLongrightarrow 1=-1 (falso)

Passo 4

Como a segunda condição não é satisfeita, p(t) não pertence a N(L).

Resposta

Não.

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