Verifique se as afirmações são verdadeiras ou falsas e justifique sua resposta.
(a) Toda transformação linear sobrejetora tem obrigatoriamente núcleo de dimensão zero.

Passo 1

O enunciado nos pede para verificar se toda transformação linear sobrejetora tem necessariamente núcleo de dimensão zero. O conteúdo envolvido é transformação linear, núcleo, imagem e o teorema da dimensão (rank–nullity).

Passo 2

Considere uma transformação linear . Se é sobrejetora então , o que implica

Passo 3

Pelo teorema da dimensão (ou teorema núcleo–imagem) temos
onde . Portanto

Passo 4

Para que é preciso . Em geral, se uma transformação linear sobrejetora terá núcleo de dimensão positiva. Por exemplo, dada por é sobrejetora mas
tem dimensão 1.

Resposta

Falsa.

Exercícios relacionados