Verifique se as afirmações são verdadeiras ou falsas e justifique sua resposta.
(a) Toda transformação linear sobrejetora tem obrigatoriamente núcleo de dimensão zero.
(a) Toda transformação linear sobrejetora tem obrigatoriamente núcleo de dimensão zero.
Passo 1
O enunciado nos pede para verificar se toda transformação linear sobrejetora tem necessariamente núcleo de dimensão zero. O conteúdo envolvido é transformação linear, núcleo, imagem e o teorema da dimensão (rank–nullity).
Passo 2
Considere uma transformação linear
. Se
é sobrejetora então
, o que implica
Passo 3
Pelo teorema da dimensão (ou teorema núcleo–imagem) temos
onde . Portanto
Passo 4
Para que é preciso
. Em geral, se
uma transformação linear sobrejetora terá núcleo de dimensão positiva. Por exemplo,
dada por
é sobrejetora mas
tem dimensão 1.
Resposta
Falsa.