Seja
um operador linear tal que
.
(b)
é injetora? Justifique sua resposta.
(b)
Passo 1
O enunciado define um operador linear
pelas imagens nos vetores da base canônica
:
Queremos saber se
é injetora, isto é, se
. Para isso, basta verificar se a única solução de
é o polinômio nulo.
Passo 2
Seja um polinômio genérico de grau
,
com
. Vamos calcular
usando linearidade:
Passo 3
Substituindo as imagens dadas,
Agrupando termos em potências de
, obtemos
Passo 4
Para ter
Da terceira equação vem . Na segunda:
Então
e
. Assim, a única solução é
, ou seja,
.
Passo 5
Como
, concluímos que
é injetora.
Resposta
Sim,
é injetora, pois o único polinômio que mapeia em zero é o polinômio nulo.