Seja T: P2 P2 um operador linear tal que T(1)=1+t, T(t)=t+t^2, T(t^2)=1+t-2 t^2.
(b) T é injetora? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado define um operador linear T: P2to P2 pelas imagens nos vetores da base canônica 1,t,t^2:
T(1)=1+t, T(t)=t+t^2, T(t^2)=1+t-2t^2
Queremos saber se T é injetora, isto é, se ker T=0. Para isso, basta verificar se a única solução de T(p)=0 é o polinômio nulo.

Passo 2

Seja um polinômio genérico de grau <=2,
p(t)=a + b,t + c,t^2,
com a,b,cinR. Vamos calcular T(p) usando linearidade:
T(p)=a,T(1)+b,T(t)+c,T(t^2)

Passo 3

Substituindo as imagens dadas,
T(p) = a,(1+t) + b,(t+t^2) + c,(1+t-2t^2)
Agrupando termos em potências de t, obtemos
T(p) =(a+c);+;(a+b+c),t;+;(b-2c),t^2

Passo 4

Para ter
Da terceira equação vem . Na segunda:
Então e . Assim, a única solução é , ou seja, .

Passo 5

Como ker T=0, concluímos que T é injetora.

Resposta

Sim, T é injetora, pois o único polinômio que mapeia em zero é o polinômio nulo.

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