Explique o conceito de assimetria, conforme visto em sala de aula. Isto é, discuta o que a fórmula de assimetria ( a3=m3m2 raizm2 ) representa, e explique os três tipos de distribuição de dados que costumamos identificar de acordo com o valor de a3 (se a3 é igual, maior ou menor do que zero).

Passo 1

O enunciado pede para explicar o conceito de assimetria (ou skewness) de uma distribuição de dados, cuja medida é dada pela fórmula
a3 ;=;m3m2,raizm2,
Aqui m2 é o segundo momento central (variância) e m3 é o terceiro momento central. Vamos ver o que cada parte representa e como o sinal de a3 classifica a distribuição.

Passo 2

Definimos o k-ésimo momento central como
mk = El[(X - mu)^kr],
onde mu é a média de X. Assim, m2=E[(X-mu)^2] é a variância e raizm2 o desvio‐padrão. O terceiro momento central m3=E[(X-mu)^3] capta a “assimetria bruta” da distribuição: valores positivos de X-mu elevados ao cubo e valores negativos elevados ao cubo não se cancelam simetricamente quando há caudas de tamanho diferente.

Passo 3

A fórmula
a3 = m3m2,raizm2 = m3(raizm2)^3
padroniza o terceiro momento, tornando a3 adimensional e comparável entre distribuições com variâncias diferentes. O numerador m3 traz o desequilíbrio de caudas, e o denominador ajusta pela largura típica dos dados ( sigma^3).

Passo 4

Quando a3=0, o terceiro momento central m3 é zero, o que ocorre se a distribuição for perfeita-mente simétrica em torno da média (por exemplo, a normal). Nesse caso, as contribuições positivas e negativas de (X-mu)^3 se anulam.

Passo 5

Quando a3>0, significa que m3>0. A cauda direita (valores acima da média) puxa m3 mais fortemente para cima do que a cauda esquerda para baixo. Dizemos que a distribuição é assimétrica à direita ou tem skewness positivo.

Passo 6

Quando a3<0, temos m3<0. A cauda esquerda (valores abaixo da média) é mais pesada ou longa, deslocando m3 para valores negativos. Nesse caso, a distribuição é assimétrica à esquerda ou tem skewness negativo.

Resposta

Se a3=0, a distribuição é simétrica.
Se a3>0, a distribuição é assimétrica à direita (cauda direita mais longa).
Se a3<0, a distribuição é assimétrica à esquerda (cauda esquerda mais longa).

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