1.2 Explique os conceitos de continuidade, diferenciabilidade e quais condições uma função precisa pra ser contínua e diferenciável em um ponto e em um intervalo.
Passo 1
O enunciado pede que a gente explique os conceitos de continuidade e diferenciabilidade de funções reais de variável real e quais condições são necessárias para que uma função seja contínua e diferenciável em um ponto e em um intervalo. O conteúdo envolve definições via limites,
e o limite do quociente incremental.
Passo 2
Uma função
é contínua em um ponto
se, e somente se, o limite de
quando
se aproxima de
existe e é igual ao valor da função em
. Em símbolos:
Em linguagem
, para todo
existe
tal que sempre que
então
.
Passo 3
Para ser contínua em um intervalo, basta que
seja contínua em cada ponto desse intervalo. Se o intervalo for fechado
, exige-se limite lateral à direita em
e limite lateral à esquerda em
:
Passo 4
A função
é diferenciável em um ponto
se o limite do quociente incremental existir e for finito:
Esse limite, quando existe, define a derivada de
em
.
Passo 5
Para que
seja diferenciável em um intervalo, é preciso que exista
finita em cada ponto do interior do intervalo. Em intervalos fechados, verifica-se também a existência de derivadas laterais nos extremos (limite de
para
e de
para
). Além disso, sempre que
for diferenciável em
, ela será contínua em
, mas o recíproco nem sempre vale.
Resposta
Continuidade em um ponto:
Continuidade em intervalo: existir e coincidir o limite em cada ponto (usar limites laterais nos extremos de intervalos fechados).
Diferenciabilidade em um ponto:
deve existir e ser finito. Em intervalo: derivada existe em cada ponto do interior (e derivadas laterais nos extremos se for fechado). Diferenciabilidade implica continuidade, mas não o inverso.