1.2 Explique os conceitos de continuidade, diferenciabilidade e quais condições uma função precisa pra ser contínua e diferenciável em um ponto e em um intervalo.

Passo 1

O enunciado pede que a gente explique os conceitos de continuidade e diferenciabilidade de funções reais de variável real e quais condições são necessárias para que uma função seja contínua e diferenciável em um ponto e em um intervalo. O conteúdo envolve definições via limites, epsilon - de<a e o limite do quociente incremental.

Passo 2

Uma função f é contínua em um ponto x=a se, e somente se, o limite de f(x) quando x se aproxima de a existe e é igual ao valor da função em a. Em símbolos:
limxto af(x)=f(a)
Em linguagem epsilon - de<a, para todo epsilon>0 existe de<a>0 tal que sempre que |x-a|<de<a então |f(x)-f(a)|<epsilon.

Passo 3

Para ser contínua em um intervalo, basta que f seja contínua em cada ponto desse intervalo. Se o intervalo for fechado [a,b], exige-se limite lateral à direita em a e limite lateral à esquerda em b:
limxto a^+f(x)=f(a), limxto b^-f(x)=f(b)

Passo 4

A função f é diferenciável em um ponto x=a se o limite do quociente incremental existir e for finito:
f'(a)=limhto0f(a+h)-f(a)h
Esse limite, quando existe, define a derivada de f em a.

Passo 5

Para que f seja diferenciável em um intervalo, é preciso que exista f'(x) finita em cada ponto do interior do intervalo. Em intervalos fechados, verifica-se também a existência de derivadas laterais nos extremos (limite de l[f(x)-f(a)r]/(x-a) para xto a^+ e de l[f(x)-f(b)r]/(x-b) para xto b^-). Além disso, sempre que f for diferenciável em a, ela será contínua em a, mas o recíproco nem sempre vale.

Resposta

Continuidade em um ponto:
limxto af(x)=f(a)
Continuidade em intervalo: existir e coincidir o limite em cada ponto (usar limites laterais nos extremos de intervalos fechados).
Diferenciabilidade em um ponto:
f'(a)=limhto0f(a+h)-f(a)h
deve existir e ser finito. Em intervalo: derivada existe em cada ponto do interior (e derivadas laterais nos extremos se for fechado). Diferenciabilidade implica continuidade, mas não o inverso.

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