Verifique se as EDO’s abaixo são ou não homogêneas; em caso afirmativo, forneça uma solução e classifique-a como explícita ou implícita:
Passo 1
O enunciado dá a EDO
e pede para verificar se é homogênea. Note que o lado direito depende apenas da razão , caracterizando uma EDO homogênea de grau zero. Vamos usar a substituição
isto é, .
Passo 2
Com , a derivada vira
Substituindo na EDO original obtemos
Reorganizando,
Passo 3
Separamos variáveis:
Para integrar o lado esquerdo, faça , logo . Assim
No lado direito fica integral d xx = ln|x| + C.
Passo 4
Igualando as integrais:
lnl|ln(v)-1r| = ln|x| + C
Exponenciando e absorvendo o sinal em uma constante A,
ln(v)-1 = A,x,
onde A é constante arbitrária. Logo
ln(v) = 1 + A,x Longrightarrow v = e^1 + A,x
Passo 5
Voltando a y:
yx = e^1 + A,x Longrightarrow y = x,e^1 + A,x
Essa é a solução geral, escrita de forma explícita em y.