Verifique se as EDO’s abaixo são ou não homogêneas; em caso afirmativo, forneça uma solução e classifique-a como explícita ou implícita:
d yd x=yx ln (yx)

Passo 1

O enunciado dá a EDO
d yd x = yx,ln!l(tfracyxr)
e pede para verificar se é homogênea. Note que o lado direito depende apenas da razão y/x, caracterizando uma EDO homogênea de grau zero. Vamos usar a substituição
v = yx,
isto é, y = v,x.

Passo 2

Com y = v,x, a derivada vira
d yd x = v + x,d vd x
Substituindo na EDO original obtemos
v + x,d vd x = v,ln(v)
Reorganizando,
x,d vd x = v,ln(v) - v = vl(ln(v)-1r)

Passo 3

Separamos variáveis:
d vvl(ln(v)-1r) = d xx
Para integrar o lado esquerdo, faça u = ln(v), logo d u = d vv. Assim
integral d vv(ln(v)-1) = integral d uu-1 = lnl|u-1r| + C = lnl|ln(v)-1r| + C
No lado direito fica integral d xx = ln|x| + C.

Passo 4

Igualando as integrais:
lnl|ln(v)-1r| = ln|x| + C
Exponenciando e absorvendo o sinal em uma constante A,
ln(v)-1 = A,x,
onde A é constante arbitrária. Logo
ln(v) = 1 + A,x Longrightarrow v = e^1 + A,x

Passo 5

Voltando a y:
yx = e^1 + A,x Longrightarrow y = x,e^1 + A,x
Essa é a solução geral, escrita de forma explícita em y.

Resposta

A EDO é homogênea e sua solução geral é
y(x) = x ,e^1 + C,x,
que está em forma explícita em y.

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