Explique por que o determinante de uma matriz n \times n com uma linha de zeros deve ser zero.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se uma matriz A de ordem n tem uma linha inteira formada por zeros, então \det(A)=0. O conteúdo usado será a definição de determinante por expansão de Laplace (cofatores) em uma linha.

Passo 2

Recordando a definição, se a linha i de A é (a_{i1},a_{i2},\dots,a_{in}), então a expansão pela linha i
\det(A) \;=\;\sum_{j=1}^{n}a_{ij}\,C_{ij},
onde C_{ij}=(-1)^{i+j}\det(M_{ij}) é o cofactor associado ao elemento a_{ij}.

Passo 3

No nosso caso, a linha i de A é toda zero, ou seja, para todo j vale a_{ij}=0. Logo cada termo da soma
a_{ij}\,C_{ij}
é 0\times C_{ij}=0.

Passo 4

Somando n zeros obtemos
\det(A)=\sum_{j=1}^{n}0 = 0.
Portanto, toda matriz que possui uma linha de zeros tem determinante nulo.

Resposta

\det(A)=0

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