Explique por que o determinante de uma matriz
com uma linha de zeros deve ser zero.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se uma matriz
de ordem
tem uma linha inteira formada por zeros, então
. O conteúdo usado será a definição de determinante por expansão de Laplace (cofatores) em uma linha.
Passo 2
Recordando a definição, se a linha
de
é
, então a expansão pela linha
dá
onde
é o cofactor associado ao elemento
.
Passo 3
No nosso caso, a linha
de
é toda zero, ou seja, para todo
vale
. Logo cada termo da soma
é
.
Passo 4
Somando
zeros obtemos
Portanto, toda matriz que possui uma linha de zeros tem determinante nulo.