Verifique cada afirmação e julgue verdadeiro (V) ou falso (F). Se for verdadeiro, justifique sua resposta, se for falso, encontre um contra-exemplo.
(a)
;
(b)
;
(c)
;
(d) Não existe matriz quadrada tal que
para o qual
.
(e) O determinante de uma matriz permanece inalterado se escrevemos as colunas em ordem inversa.
(a)
(b)
(c)
(d) Não existe matriz quadrada tal que
(e) O determinante de uma matriz permanece inalterado se escrevemos as colunas em ordem inversa.
Passo 1
O enunciado pede para julgar as seguintes afirmações sobre determinantes de matrizes quadradas e, se forem verdadeiras, justificar; se forem falsas, dar contra-exemplo. O conteúdo principal é a propriedade de homogeneidade do determinante, a multiplicatividade e o efeito de operações sobre colunas.
Passo 2
Afirmação (a): “
”.
Sabemos que, para uma matriz , vale a propriedade de homogeneidade
Sabemos que, para uma matriz
Logo,
, não
.
Contra-exemplo: seja
Contra-exemplo: seja
Então
, mas
Logo (a) é falsa.
Passo 3
Afirmação (b): “
”.
Usamos que para quaisquer matrizes quadradas compatíveis. Tomando
, obtém-se
Usamos que
Portanto (b) é verdadeira.
Passo 4
Afirmação (c): “
”.
Não há regra geral que some determinantes assim.
Contra-exemplo: seja
Não há regra geral que some determinantes assim.
Contra-exemplo: seja
Então
e
Logo (c) é falsa.
Passo 5
Afirmação (d): “Não existe matriz quadrada
tal que
”.
Como , o valor é sempre
. Nunca dá
.
Portanto (d) é verdadeira.
Como
Portanto (d) é verdadeira.
Passo 6
Afirmação (e): “O determinante de uma matriz permanece inalterado se escrevemos as colunas em ordem inversa.”
Reverter todas as colunas equivale a aplicar trocas de colunas, cada troca muda o sinal do determinante. O fator total é
Reverter todas as colunas equivale a aplicar
que não é sempre
.
Contra-exemplo: para , seja
Contra-exemplo: para
Logo (e) é falsa.
Resposta
(a) F
(b) V
(c) F
(d) V
(e) F
(b) V
(c) F
(d) V
(e) F