Explique o que deve ocorrer se aplicamos o Método da bissecção em uma função f que possui duas raízes no intervalo [a, b] e que satisfaz a hipótese f(a) f(b)<0.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz: “O que acontece se fizermos o método da bissecção numa função contínua em que satisfaz mas que, dentro de , tem duas raízes?”
Conteúdo: Método da bissecção e Teorema do Valor Intermediário (TVI).
Vamos precisar entender:
  1. O que o TVI garante quando .
  2. Como o método da bissecção escolhe subintervalos usando mudança de sinal.
  3. O que rola quando uma das raízes não faz o sinal “trocar” (multiplicidade par).

Passo 2

Teorema do Valor Intermediário (TVI): se for contínua em e , então existe pelo menos uma raiz tal que .
Na prática, o TVI garante que há um número ímpar de “cruzamentos” do eixo em .

Passo 3

Mas o enunciado diz que há duas raízes. Para termos exatamente duas raízes e ainda , uma delas deve ser de multiplicidade par (toque na reta sem trocar de sinal) e a outra de multiplicidade ímpar (cruza o eixo).
  • A raiz de multiplicidade ímpar faz o sinal de trocar de “ ” para “ ” ou vice-versa”.
  • A raiz de multiplicidade par faz tocar o zero e voltar ao mesmo sinal, sem troca.

Passo 4

Como o método da bissecção funciona passo a passo:
  1. Calculo o ponto médio .
  2. Vejo o sinal de .
  3. Se , chamo o novo intervalo de ; senão (isto é, se ), uso .
    Em ambas as escolhas, sempre garanto que na ponta esquerda e na ponta direita do subintervalo escolhido há sinais opostos.
    Isso faz com que o método “cace” precisamente o cruzamento de sinal, ou seja, a raiz de multiplicidade ímpar.
    A raiz de multiplicidade par, que não altera o sinal de , nunca vai aparecer num intervalo cujas extremidades tenham sinais diferentes, então ela é completamente ignorada pelo critério de escolha do subintervalo.

Resposta

O método da bissecção vai convergir para a única raiz que troca o sinal de (multiplicidade ímpar), ignorando a outra que não altera sinal (multiplicidade par).

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