Explique o que deve ocorrer se aplicamos o Método da bissecção em uma função
que possui duas raízes no intervalo
e que satisfaz a hipótese
.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz: “O que acontece se fizermos o método da bissecção numa função
contínua em
que satisfaz
mas que, dentro de
, tem duas raízes?”
Conteúdo: Método da bissecção e Teorema do Valor Intermediário (TVI).
Vamos precisar entender:
Conteúdo: Método da bissecção e Teorema do Valor Intermediário (TVI).
Vamos precisar entender:
- O que o TVI garante quando
. - Como o método da bissecção escolhe subintervalos usando mudança de sinal.
- O que rola quando uma das raízes não faz o sinal “trocar” (multiplicidade par).
Passo 2
Teorema do Valor Intermediário (TVI): se
for contínua em
e
, então existe pelo menos uma raiz
tal que
.
Na prática, o TVI garante que há um número ímpar de “cruzamentos” do eixo em
.
Na prática, o TVI garante que há um número ímpar de “cruzamentos” do eixo
Passo 3
Mas o enunciado diz que há duas raízes. Para termos exatamente duas raízes e ainda
, uma delas deve ser de multiplicidade par (toque na reta
sem trocar de sinal) e a outra de multiplicidade ímpar (cruza o eixo).
- A raiz de multiplicidade ímpar faz o sinal de
trocar de “ ” para “ ” ou vice-versa”. - A raiz de multiplicidade par faz
tocar o zero e voltar ao mesmo sinal, sem troca.
Passo 4
Como o método da bissecção funciona passo a passo:
- Calculo o ponto médio
. - Vejo o sinal de
. - Se
, chamo o novo intervalo de ; senão (isto é, se ), uso .
Em ambas as escolhas, sempre garanto que na ponta esquerda e na ponta direita do subintervalo escolhido há sinais opostos.
Isso faz com que o método “cace” precisamente o cruzamento de sinal, ou seja, a raiz de multiplicidade ímpar.
A raiz de multiplicidade par, que não altera o sinal de, nunca vai aparecer num intervalo cujas extremidades tenham sinais diferentes, então ela é completamente ignorada pelo critério de escolha do subintervalo.
Resposta
O método da bissecção vai convergir para a única raiz que troca o sinal de
(multiplicidade ímpar), ignorando a outra que não altera sinal (multiplicidade par).