Das funções abaixo, quais satisfazem o critério de convergência do método de Iteração do Ponto Fixo?
, para
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que a gente tem a função
e quer saber se ela satisfaz o critério de convergência do método de Iteração do Ponto Fixo.
Conteúdo: Teoria de ponto‐fixo (ou Teorema do Contraction Mapping).
O que precisamos fazer:
1) Verificar se
2) Calcular
Passo 2
Primeiro, vejam se
manda
pra dentro de
.
- Para
:
- Para:
Como
é crescente, pra todo
a imagem fica entre
e
, ou seja, sempre em
.
Passo 3
Agora a derivada:
No intervalo
O máximo de
é
. Logo existe um
tal que
.
Passo 4
Pelo Teorema do Contraction Mapping (ou Teorema do Ponto‐Fixo de Banach), se
-
e - existe
com em ,
entãoé uma contração e a iteração converge a um único ponto‐fixo em .
Resposta
A função
satisfaz o critério de convergência do método de Iteração do Ponto Fixo em
, pois mapeia o intervalo em si e tem
.