Das funções abaixo, quais satisfazem o critério de convergência do método de Iteração do Ponto Fixo?
g(x)=ln (x+1)+1, para x in[1,3]

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a gente tem a função
g(x)=ln(x+1)+1,, xin[1,3]
e quer saber se ela satisfaz o critério de convergência do método de Iteração do Ponto Fixo.
Conteúdo: Teoria de ponto‐fixo (ou Teorema do Contraction Mapping).
O que precisamos fazer:
1) Verificar se g mapeia o intervalo [1,3] dentro de si (ou seja, g(x)in[1,3] para todo xin[1,3]).
2) Calcular g'(x) e mostrar que existe um L<1 com |g'(x)|<= L em todo o intervalo.

Passo 2

Primeiro, vejam se g manda [1,3] pra dentro de [1,3].
  • Para x=1: g(1)=ln(1+1)+1=ln2+1approx0,693+1=1,693in[1,3]
    - Para x=3:
    g(3)=ln(3+1)+1=ln4+1approx1,386+1=2,386in[1,3]
Como ln(x+1) é crescente, pra todo xin[1,3] a imagem fica entre g(1)approx1,693 e g(3)approx2,386, ou seja, sempre em [1,3].

Passo 3

Agora a derivada:
g'(x)=ddxl(ln(x+1)+1r)=1x+1
No intervalo xin[1,3], x+1in[2,4], então
g'(x)inl[tfrac14,,tfrac12r]
O máximo de |g'(x)| é tfrac12<1. Logo existe um L=tfrac12 tal que |g'(x)|<= L<1.

Passo 4

Pelo Teorema do Contraction Mapping (ou Teorema do Ponto‐Fixo de Banach), se
  1. g:[1,3]to[1,3] e
  2. existe L<1 com |g'(x)|<= L em [1,3],
    então g é uma contração e a iteração xn+1=g(xn) converge a um único ponto‐fixo em [1,3].

Resposta

A função g(x)=ln(x+1)+1 satisfaz o critério de convergência do método de Iteração do Ponto Fixo em [1,3],, pois mapeia o intervalo em si e tem |g'(x)|<=1/2<1,.

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