Das funções abaixo, quais satisfazem o critério de convergência do método de Iteração do Ponto Fixo?
, para
Passo 1
Então, o exercício tá pedindo pra gente ver se a função
no intervalo
satisfaz o critério de convergência do método de Iteração do Ponto Fixo.
Conteúdo: Teorema do Ponto Fixo (ou Teorema do Contraction Mapping).
O que vamos precisar:
Conteúdo: Teorema do Ponto Fixo (ou Teorema do Contraction Mapping).
O que vamos precisar:
- Ver se
leva dentro de si mesma, isto é, se para todo , . - Calcular
e ver se existe tal que para todo .
Passo 2
Verificando
.
- Em
: que está em . - Em
: que também está em .
Além disso, a funçãoé crescente, então para todo , varia entre e . Logo, de fato .
Passo 3
Agora, vamos olhar no critério de contratividade:
Calcular a derivada
Calcular a derivada
No intervalo
,
varia de
a
, então
Para ser uma contração (condição suficiente para convergir), precisamos de um
tal que
para todo
. Mas aqui o valor máximo de
é
que é maior que 1. Portanto, não satisfaz
em todo o intervalo.
Resposta
A função
no intervalo
não satisfaz o critério de convergência do método de Iteração do Ponto Fixo, pois sua derivada atinge valores maiores que 1.