Das funções abaixo, quais satisfazem o critério de convergência do método de Iteração do Ponto Fixo?
g(x)=2 ln (x+1), para x in[0,3]

Passo 1

Então, o exercício tá pedindo pra gente ver se a função
g(x) = 2 ln(x + 1)
no intervalo satisfaz o critério de convergência do método de Iteração do Ponto Fixo.
Conteúdo: Teorema do Ponto Fixo (ou Teorema do Contraction Mapping).
O que vamos precisar:
  1. Ver se leva dentro de si mesma, isto é, se para todo , .
  2. Calcular e ver se existe tal que para todo .

Passo 2

Verificando g(0) = 2ln(0+1) = 2ln1 = 0, .
  • Em g(3) = 2ln(3+1) = 2ln4 approx 2cdot1,386 = 2,772, : que está em .
  • Em : que também está em .
    Além disso, a função é crescente, então para todo , varia entre e . Logo, de fato .

Passo 3

Agora, vamos olhar no critério de contratividade:
Calcular a derivada
g'(x) = 2x+1
No intervalo g'(x) in l[24,,21r] = [0,5,,2] , maxxin[0,3] g'(x) = g'(0) = 2, varia de a , então
Para ser uma contração (condição suficiente para convergir), precisamos de um tal que para todo . Mas aqui o valor máximo de é
que é maior que 1. Portanto, não satisfaz em todo o intervalo.

Resposta

A função no intervalo não satisfaz o critério de convergência do método de Iteração do Ponto Fixo, pois sua derivada atinge valores maiores que 1.

Exercícios relacionados