(A) Explique como o diâmetro de um tubo capilar horizontal pode ser determinado a partir dos seguintes dados:
Vazão de massa do fluido que escoa através do tubo (
), Comprimento do capilar (L),
iscosidade do fluido (
), densidade do fluido (
), queda de pressão ao longo do tubo (
)
(B) Discuta a validade da análise para regime laminar
Vazão de massa do fluido que escoa através do tubo (
(B) Discuta a validade da análise para regime laminar
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (A) Determinar o diâmetro do tubo capilar a partir dos dados fornecidos.
- (B) Discutir a validade da análise para regime laminar.
Dados fornecidos (peguei estes símbolos do enunciado):
- Vazão de massa:
(assumi que este é o valor da vazão mássica ). - Comprimento do capilar:
. - Viscosidade do fluido:
. - Densidade do fluido:
. - Queda de pressão ao longo do tubo:
.
Não resolvo nada ainda; só organizei o que foi pedido e os dados disponíveis.
Passo 2
Relacionar vazão mássica com vazão volumétrica: para qualquer fluido incompressível (ou em fluxo onde a densidade é aproximadamente constante) vale
onde
é a vazão mássica e
é a vazão volumétrica. Portanto, se o dado fornecido
é a vazão mássica,
Explicação didática: a vazão mássica mede quantos quilogramas por segundo passam; dividir pela densidade (kg/m³) transforma em metros cúbicos por segundo.
Passo 3
Apresentar a lei de escoamento laminar em tubo circular (Hagen–Poiseuille) e explicar de onde vem.
- Hipóteses para a fórmula que vamos usar: escoamento estacionário, incompressível, Newtoniano (viscosidade constante), regime laminar totalmente desenvolvido, tubo cilíndrico, fluxo unidimensional no eixo, condição de não-deslizamento na parede.
- A equação de Navier–Stokes, sob essas hipóteses e em coordenadas cilíndricas, reduz-se a uma equação para a velocidade axial
:
onde
é a coordenada radial,
é a coordenada ao longo do tubo,
é a viscosidade e
é o gradiente de pressão (negativo se a pressão decresce no sentido do escoamento).
- Integrando essa equação com as condições
finita em e (sem deslizamento), obtém-se o perfil parabólico
- Integrando a velocidade sobre a seção circular obtém-se a vazão volumétrica
- Para uma queda de pressão
ao longo de um comprimento , tem-se . Substituindo isso,
Esta é a fórmula de Hagen–Poiseuille, que dá a relação entre vazão volumétrica e queda de pressão para escoamento laminar totalmente desenvolvido em tubo circular.
Passo 4
Substituir
(obtida no Passo 2) na relação de Hagen–Poiseuille e isolar o raio/diâmetro.
- Começando de
isolamos
:
- Substituindo
:
- O diâmetro
é . Portanto
Essa é a expressão direta que dá o diâmetro em função dos dados fornecidos.
Passo 5
Interpretação prática e formato útil da fórmula.
- Para uso prático, escrevendo
e , a expressão final é
- Se o enunciado trouxesse a vazão volumétrica
em vez de , usar
Explicação curta: tem-se forte dependência do quarto poder do raio; pequenas mudanças na vazão ou viscosidade alteram bastante o diâmetro.
Passo 6
Como verificar a validade do uso da fórmula (critério de regime laminar e outras hipóteses).
-
Critério de Reynolds:
- Definir velocidade média
e número de Reynolds. A área da seção é . A velocidade média é
- O número de Reynolds é
Observação interessante: ao usar vazão mássica, fica independente de (pois cancela). - Para escoamento laminar plenamente desenvolvido em duto circular costuma-se exigir
. Portanto, calcule com a fórmula do Passo 4, em seguida calcule com a expressão acima; se a hipótese de laminar é plausível. - Observação prática: se
calculado levar a próximo da região de transição (por exemplo entre e ), a aplicação da fórmula de Poiseuille fica insegura — o fluxo pode não ser totalmente laminar.
- Definir velocidade média
-
Comprimento de desenvolvimento do perfil de velocidade:
- Para que o escoamento seja “totalmente desenvolvido” e a lei de Poiseuille seja aplicável por todo o comprimento
, o comprimento de entrada deve ser pequeno comparado com . Uma estimativa para escoamento laminar é
- Verifique se
. Se for menor ou da mesma ordem que , o perfil não estará desenvolvido e a fórmula de Poiseuille não vale para todo o comprimento; será preciso considerar efeitos de entrada (cálculos mais complexos).
- Para que o escoamento seja “totalmente desenvolvido” e a lei de Poiseuille seja aplicável por todo o comprimento
-
Outras hipóteses a checar:
- Fluido Newtoniano e viscosidade constante: se o fluido for não-Newtoniano (p.ex. soluções poliméricas), a relação
não vale e a fórmula falha. - Efeito da compressibilidade (importante para gases): se a variação de densidade ao longo do tubo for significativa (por exemplo
comparável à pressão absoluta), a hipótese incompressível falha; então é preciso usar análise compressível. - Rugosidade, irregularidades, curvaturas ou variações de seção: a presença de rugosidade alta ou tubulação não-cilíndrica muda a perda de carga e o perfil; Poiseuille assume parede lisa e seção circular.
- Temperatura: se
varia com temperatura ao longo do tubo, usar média apropriada ou resolver acoplamento térmico-hidráulico. - Fluxo multifásico (bolhas, sedimentos): fórmula não é aplicável.
- Fluido Newtoniano e viscosidade constante: se o fluido for não-Newtoniano (p.ex. soluções poliméricas), a relação
Passo 7
Procedimento prático passo a passo para aplicar em prova ou em cálculo:
- Calcule
. - Calcule
pela fórmula - Calcule
com o obtido. - Verifique se
e . Se sim, resultados confiáveis; caso contrário, reavalie hipóteses (entradas, transição, compressibilidade, não-Newtoniano, etc.).
Dica de prova: mostre claramente a substituiçãoe a aplicação de Hagen–Poiseuille; para justificar o uso da fórmula cite as hipóteses básicas (laminar, Newtoniano, totalmente desenvolvido).
Resposta
(A)
(B) A análise é válida se as hipóteses de Poiseuille forem atendidas: escoamento laminar (tipicamente ), perfil totalmente desenvolvido (verificar
), fluido Newtoniano, incompressibilidade (ou variação de densidade desprezível), parede lisa e escoamento monofásico; caso alguma dessas condições falhe, a fórmula não é aplicável e é preciso usar correções ou modelos mais gerais.
(B) A análise é válida se as hipóteses de Poiseuille forem atendidas: escoamento laminar (tipicamente