Questão 1) Os movimentos de gradiente em fluidos ambientais podem ser descritos pela seguinte equação em coordenadas naturais:
a) Defina cada uma das forças envolvidas e os respectivos termos;
b) Explique o que é o balanço geostrófico e imponha este à equação acima para obter a velocidade geostrófica;
c) Encontre V.
a) Defina cada uma das forças envolvidas e os respectivos termos;
b) Explique o que é o balanço geostrófico e imponha este à equação acima para obter a velocidade geostrófica;
c) Encontre V.
Passo 1
O enunciado fornece a equação dos movimentos em coordenadas naturais (direção tangencial e normal à trajetória):
O que o exercício pede:
- (a) Definir cada uma das forças envolvidas e os termos da equação; listar o que cada símbolo representa.
- (b) Explicar o que é o balanço geostrófico e impor esse balanço na equação para obter a velocidade geostrófica.
- (c) Resolver a equação dada para encontrar
(a velocidade, em termos dos parâmetros).
Informações/variáveis dadas na equação (essas são as quantidades sobre as quais vamos trabalhar):
-
: módulo da velocidade do escoamento (escala de velocidade) — incógnita a encontrar. -
: raio de curvatura da trajetória (positivo quando definido geometricamente). -
: parâmetro de Coriolis (geralmente , onde é a rotação da Terra e a latitude). -
: densidade do fluido (assume-se conhecida). -
: derivada espacial da pressão na direção normal à trajetória (gradiente de pressão nessa direção). -
: versor unitário na direção normal (aponta para o centro de curvatura da linha de corrente, pela convenção usual). - A equação está escrita no balanço de acelerações na direção normal à trajetória.
Passo 2
Definição física e interpretação de cada termo (explicação passo a passo, com intuição):
-
Termo
. - O que é: é a aceleração centrípeta (ou efeito de curvatura) necessária para manter a partícula descrevendo uma curva de raio
. Tem dimensão de aceleração. - Direção: aponta para o centro da curva (na direção do versor
). - Intuição: quanto maior a velocidade
ou menor o raio , maior a aceleração necessária para “virar” o fluxo.
- O que é: é a aceleração centrípeta (ou efeito de curvatura) necessária para manter a partícula descrevendo uma curva de raio
-
Termo
. - O que é: módulo da componente normal da força de Coriolis por unidade de massa (Coriolis produz uma aceleração perpendicular à velocidade de magnitude
). - Direção: depende do hemisfério e da orientação da velocidade; na formulação escalar normal aparece com sinal conforme a convenção do versor
. Em coordenadas naturais costuma-se escrevê-lo como contribuindo para o balanço normal. - Intuição: é a “força aparente” causada pela rotação da Terra que desvia o movimento; sua magnitude cresce com
e com .
- O que é: módulo da componente normal da força de Coriolis por unidade de massa (Coriolis produz uma aceleração perpendicular à velocidade de magnitude
-
Termo
. - O que é: força por unidade de massa originada do gradiente de pressão na direção normal. O sinal negativo indica que o fluido é acelerado da região de alta pressão para baixa pressão (gradiente aponta para onde a pressão aumenta; a força é do alto para o baixo).
- Direção: na direção
ou contrária, dependendo do sinal de . - Intuição: se a pressão diminui para a direita, haverá uma força que “puxa” o fluido nessa direção.
-
Convenção de sinais e geometria:
-
é o versor normal apontando para o centro de curvatura; por isso a aceleração centrípeta aparece como (positiva na direção de ). - Se
, então é positivo e a força do gradiente de pressão aponta na direção de .
-
Resumo: a equação equilibra (na direção normal) a aceleração centrípeta
mais a componente de Coriolis
com a força do gradiente de pressão
.
Passo 3
O que é o balanço geostrófico e como aplicá-lo à equação. (Aula rápida e intuitiva)
- O balanço geostrófico é a situação em que a força de Coriolis se equilibra com o gradiente de pressão, enquanto acelerações locais e efeitos de curvatura são desprezíveis. Ou seja, para escalas grandes e variações lentas (fluxos quase estacionários e trajetórias pouco curvadas) pode-se ignorar a aceleração centrípeta e termos de aceleração local.
- Matematicamente, impor balanço geostrófico significa desprezar
(assumir que é pequeno comparado aos outros termos) na equação original. Partindo de ao desprezar obtemos o balanço: - Despejando
(a velocidade geostrófica) temos: - Interpretação:
é diretamente proporcional ao gradiente de pressão e inversamente proporcional à densidade e ao parâmetro de Coriolis. O sinal indica a direção relativa entre e o gradiente de pressão (dependendo da convenção de e do sinal de ).
Exemplo simples para fixar: se
(pressão decresce na direção de
) e
(hemisfério Norte), então
, o que significa que a velocidade tem a orientação convencional definida (compatível com o fato de que em balanço geostrófico o escoamento fica paralelo às isóbaras).
Passo 4
Resolver a equação completa para
(resolver a quadrática). (Vou mostrar cada passo algébrico e explicar as escolhas)
- Reescrever a equação como uma equação quadrática em
. Movendo tudo para um lado:
- Identificar coeficientes da forma
: -
, -
, -
.
-
- Aplicar a fórmula quadrática. Para
vale
Substituindo nossos coeficientes:
- Simplificar o denominador
invertendo para multiplicar por :
Essa é a solução explícita para
em termos de
.
- Observações físicas sobre as raízes:
- O discriminante é
Para raízes reais é preciso ; caso contrário não existe solução real estacionária para os dados (isto indica que a suposição de regime estacionário/estável pode falhar ou que a convenção de sinais/valores exige revisão). - Em termos físicos, escolhe-se o sinal
que fornece positivo (módulo da velocidade) e consistente com a orientação adotada. Em muitos casos a raiz física é a que dá e compatível com o sentido do fluxo. - Limite de curvatura grande (
): então e a equação reduz-se a , logo que é exatamente a velocidade geostrófica encontrada no Passo 3. Assim a solução quadrática é compatível com o limite geostrófico quando os efeitos de curvatura são desprezíveis.
- O discriminante é
Resposta
(a)
é a aceleração centrípeta (efeito da curvatura da trajetória);
é a componente da aceleração de Coriolis (com
o parâmetro de Coriolis);
é a força por unidade de massa causada pelo gradiente de pressão (com
a densidade e
o gradiente normal de pressão).
(b) Impondo o balanço geostrófico (desprezando ) obtém-se
, portanto
(c) Resolvendo a quadrática em obtém-se
(b) Impondo o balanço geostrófico (desprezando
(c) Resolvendo a quadrática em