Explique qual a diferença entre o modelo de Einstein e o modelo de Debye para o calor específico dos sólidos.
Passo 1
O enunciado pede para explicar as diferenças entre o modelo de Einstein e o modelo de Debye para o calor específico dos sólidos. O conteúdo principal é teoria do calor específico em física do estado sólido: ambos os modelos procuram prever como a capacidade térmica
varia com a temperatura, mas usam hipóteses distintas sobre as vibrações dos átomos.
Passo 2
No modelo de Einstein, cada átomo do sólido é tratado como um oscilador harmônico independente, todos com a mesma frequência característica
. Aplicando a estatística de Bose–Einstein, chega-se à expressão
onde
é o número de átomos,
é a constante de Boltzmann e
é a constante de Planck reduzida. No limite de altas temperaturas
, esse modelo recupera a lei de Dulong–Petit
. Porém, para
prevê uma queda exponencial de
.
Passo 3
O modelo de Debye reconhece que no sólido há modos de vibração coletivos (fonons) com um espectro contínuo de frequências até um corte
(frequência de Debye). A densidade de estados em função da frequência é proporcional a
. A capacidade térmica resulta no integral
onde
é a temperatura de Debye. Esse modelo também dá
em altas temperaturas, mas para baixas temperaturas prediz um comportamento
em excelente acordo com experimentos.
Passo 4
Comparando os dois modelos:
- Hipóteses sobre as vibrações: Einstein usa frequências idênticas e independentes, Debye adota espectro contínuo de fonons.
- Baixas temperaturas: Einstein prevê
, Debye acerta a lei de potência . - Ajuste experimental: o modelo de Debye é mais realista para
muito baixo, enquanto o de Einstein é simples e captura qualitativamente a lei de Dulong–Petit.
Resposta
O modelo de Einstein trata cada átomo como oscilador harmônico independente de frequência única
, levando a uma queda exponencial de
em baixas temperaturas, enquanto o modelo de Debye considera um espectro contínuo de modos de vibração (fonons) até uma frequência de corte
, prevendo corretamente o comportamento
para
e também a lei de Dulong–Petit em altas temperaturas.