Explique qual a diferença entre o modelo de Einstein e o modelo de Debye para o calor específico dos sólidos.

Passo 1

O enunciado pede para explicar as diferenças entre o modelo de Einstein e o modelo de Debye para o calor específico dos sólidos. O conteúdo principal é teoria do calor específico em física do estado sólido: ambos os modelos procuram prever como a capacidade térmica C_V varia com a temperatura, mas usam hipóteses distintas sobre as vibrações dos átomos.

Passo 2

No modelo de Einstein, cada átomo do sólido é tratado como um oscilador harmônico independente, todos com a mesma frequência característica \omega_E. Aplicando a estatística de Bose–Einstein, chega-se à expressão
C_V^{(E)} = 3N k_B \left(\frac{\hbar\omega_E}{k_B T}\right)^2 \frac{e^{\hbar\omega_E/(k_B T)}}{\bigl(e^{\hbar\omega_E/(k_B T)} - 1\bigr)^2},
onde N é o número de átomos, k_B é a constante de Boltzmann e \hbar é a constante de Planck reduzida. No limite de altas temperaturas T\gg \hbar\omega_E/k_B, esse modelo recupera a lei de Dulong–Petit C_V\approx3Nk_B. Porém, para T\ll \hbar\omega_E/k_B prevê uma queda exponencial de C_V.

Passo 3

O modelo de Debye reconhece que no sólido há modos de vibração coletivos (fonons) com um espectro contínuo de frequências até um corte \omega_D (frequência de Debye). A densidade de estados em função da frequência é proporcional a \omega^2. A capacidade térmica resulta no integral
C_V^{(D)} = 9N k_B \Bigl(\frac{T}{\theta_D}\Bigr)^3 \int_{0}^{\theta_D/T} \frac{x^4 e^x}{(e^x - 1)^2}\,dx,
onde \theta_D = \hbar\omega_D/k_B é a temperatura de Debye. Esse modelo também dá C_V\to3Nk_B em altas temperaturas, mas para baixas temperaturas prediz um comportamento
C_V^{(D)}\propto T^3,
em excelente acordo com experimentos.

Passo 4

Comparando os dois modelos:
  1. Hipóteses sobre as vibrações: Einstein usa frequências idênticas e independentes, Debye adota espectro contínuo de fonons.
  2. Baixas temperaturas: Einstein prevê C_V\sim e^{-\hbar\omega_E/(k_B T)}, Debye acerta a lei de potência C_V\sim T^3.
  3. Ajuste experimental: o modelo de Debye é mais realista para T muito baixo, enquanto o de Einstein é simples e captura qualitativamente a lei de Dulong–Petit.

Resposta

O modelo de Einstein trata cada átomo como oscilador harmônico independente de frequência única \omega_E, levando a uma queda exponencial de C_V em baixas temperaturas, enquanto o modelo de Debye considera um espectro contínuo de modos de vibração (fonons) até uma frequência de corte \omega_D, prevendo corretamente o comportamento C_V\propto T^3 para T\to0 e também a lei de Dulong–Petit em altas temperaturas.

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