Explique a diferença da quadratura Gaussiana para os métodos que utilizam as fórmulas de Newton Cotes. Qual é a maior restrição à aplicação do método de quadratura Gaussiana?

Passo 1

Beleza, o enunciado tá pedindo pra gente explicar qual é a diferença entre a quadratura Gaussiana e os métodos de Newton–Cotes, e também qual é a maior “restrição” (ou limitação) de usar a quadratura Gaussiana. O conteúdo é Integração Numérica, mais especificamente métodos de quadratura. Para resolver, a gente vai precisar relembrar o que é uma fórmula de Newton–Cotes, o que é a quadratura Gaussiana, como se escolhem nós e pesos, e qual é o “erro” ou limitação de cada um.

Passo 2

Newton–Cotes é a família de fórmulas que aproxima
integrala^b f(x),dxapprox sumi=0^n wi,f(xi)
onde os nós xi são pontos igualmente espaçados entre a e b.
– Os pesos wi vêm de integrar os polinômios de Lagrange que passam por esses nós.
– A fórmula de ordem n é exata para polinômios até grau n.
– O erro geral (quando fin C^n+1) pode ser escrito como
E = f^(n+1)(xi)(n+1)!,integrala^b prodi=0^n (x - xi),dx,
– Problema: se você escolhe muitos nós ( n grande), os nós ficam distantes de zero e aparece o fenômeno de Runge (os pesos podem ficar muito grandes, o erro aumenta).

Passo 3

Quadratura Gaussiana também faz
integrala^b f(x),dxapprox sumi=1^n wi,f(xi),,
mas agora:
1. Os nós xi NÃO são igualmente espaçados.
2. Eles são as raízes do polinômio ortogonal de grau n na família apropriada (p. ex. Legendre para peso w(x)=1 em [-1,1]).
3. Os pesos wi vêm de fórmulas envolvendo o mesmo polinômio ortogonal.
4. Graças a essa escolha, a fórmula de n nós é exata para todo polinômio até grau 2n-1! (bem melhor que o Newton–Cotes, que só vai até grau n).

Passo 4

Por que isso é diferente?
  • Newton–Cotes = nós uniformes → ordem de exatidão só até n.
  • Gaussiana = nós “inteligentes” (raízes ortogonais) → ordem até 2n-1.
    Ou seja, com o mesmo número de nós, Gaussiana costuma dar muito menos erro.
    Mas tem um porém: para achar esses nós e pesos você precisa resolver para raízes de polinômios ortogonais (às vezes sistemas não triviais).

Passo 5

A grande limitação (ou restrição) da quadratura Gaussiana é justamente essa:
  • Você precisa conhecer e computar as raízes do polinômio ortogonal da família certa (Legendre, Chebyshev, etc.) e os pesos associados.
  • Isso exige algoritmos de autovalores ou de ortogonalização, e não dá pra usar simplesmente pontos espaçados.
  • Se a função tiver peso diferente ou o intervalo não for padrão, tem que adaptar: mudar de variável ou usar polinômios ortogonais com outro peso.

Resposta

A diferença principal é que Newton–Cotes usa nós igualmente espaçados e é exato até grau n, enquanto a quadratura Gaussiana escolhe nós como raízes de polinômios ortogonais e atinge exatidão até grau 2n-1. A maior restrição da quadratura Gaussiana é a necessidade de calcular as raízes e pesos desses polinômios ortogonais, o que pode ser computacionalmente mais complicado e depende de saber exatamente qual peso e qual intervalo você vai usar.

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