Explique a diferença da quadratura Gaussiana para os métodos que utilizam as fórmulas de Newton Cotes. Qual é a maior restrição à aplicação do método de quadratura Gaussiana?
Passo 1
Beleza, o enunciado tá pedindo pra gente explicar qual é a diferença entre a quadratura Gaussiana e os métodos de Newton–Cotes, e também qual é a maior “restrição” (ou limitação) de usar a quadratura Gaussiana. O conteúdo é Integração Numérica, mais especificamente métodos de quadratura. Para resolver, a gente vai precisar relembrar o que é uma fórmula de Newton–Cotes, o que é a quadratura Gaussiana, como se escolhem nós e pesos, e qual é o “erro” ou limitação de cada um.
Passo 2
Newton–Cotes é a família de fórmulas que aproxima
onde os nós
– Os pesos
– A fórmula de ordem
– O erro geral (quando
– Problema: se você escolhe muitos nós (
grande), os nós ficam distantes de zero e aparece o fenômeno de Runge (os pesos podem ficar muito grandes, o erro aumenta).
Passo 3
Quadratura Gaussiana também faz
mas agora:
1. Os nós
2. Eles são as raízes do polinômio ortogonal de grau
3. Os pesos
4. Graças a essa escolha, a fórmula de
Passo 4
Por que isso é diferente?
- Newton–Cotes = nós uniformes → ordem de exatidão só até
. - Gaussiana = nós “inteligentes” (raízes ortogonais) → ordem até
.
Ou seja, com o mesmo número de nós, Gaussiana costuma dar muito menos erro.
Mas tem um porém: para achar esses nós e pesos você precisa resolver para raízes de polinômios ortogonais (às vezes sistemas não triviais).
Passo 5
A grande limitação (ou restrição) da quadratura Gaussiana é justamente essa:
- Você precisa conhecer e computar as raízes do polinômio ortogonal da família certa (Legendre, Chebyshev, etc.) e os pesos associados.
- Isso exige algoritmos de autovalores ou de ortogonalização, e não dá pra usar simplesmente pontos espaçados.
- Se a função tiver peso diferente ou o intervalo não for padrão, tem que adaptar: mudar de variável ou usar polinômios ortogonais com outro peso.
Resposta
A diferença principal é que Newton–Cotes usa nós igualmente espaçados e é exato até grau
, enquanto a quadratura Gaussiana escolhe nós como raízes de polinômios ortogonais e atinge exatidão até grau
. A maior restrição da quadratura Gaussiana é a necessidade de calcular as raízes e pesos desses polinômios ortogonais, o que pode ser computacionalmente mais complicado e depende de saber exatamente qual peso e qual intervalo você vai usar.