Aplique os métodos da bisseção para calcular uma raiz das funções abaixo:
c) f(x)=ln (x)-sin (x)

Passo 1

Beleza! O problema pede pra usar o método da bisseção pra achar uma raiz da função
f(x)=ln(x)-sin(x)
Conteúdo envolvido: cálculo de raízes de equações não-lineares pelo método da bisseção. A ideia é:
  1. escolher um intervalo onde e tenham sinais opostos (isso garante, pela continuidade, que existe ao menos uma raiz nesse intervalo);
  2. dividir o intervalo ao meio, avaliar no ponto médio, e substituir a parte que não contém raiz por esse ponto;
  3. repetir até a largura do intervalo ser pequena (ou até acharmos o valor com a precisão desejada).
Vamos precisar de: avaliar e , testar sinais e ir “cortando ao meio” o intervalo.

Passo 2

Primeiro, achamos um intervalo inicial. Testamos:
f(2)=ln(2)-sin(2)approx0.6931-0.9093=-0.2162(negativo),
f(3)=ln(3)-sin(3)approx1.0986-0.1411=0.9575(positivo)
Como , existe pelo menos uma raiz em . Então definimos e .

Passo 3

Iteração 1:
c1=a0+b02=2+32=2.5
f(c1)=ln(2.5)-sin(2.5)approx0.9163-0.5985=0.3178; (>0)
Como e , a raiz está em . Agora , .

Passo 4

Iteração 2:
c2=2+2.52=2.25,
f(c2)approxln(2.25)-sin(2.25)approx0.8109-0.7774=0.0335;(>0)
Sinal positivo de e negativo de implica raiz em . Agora , .

Passo 5

Iteração 3:
c3=2+2.252=2.125,
f(c3)approxln(2.125)-sin(2.125)approx0.7538-0.8489=-0.0951;(<0)
Agora e , então raiz em . Definimos , .

Passo 6

Iteração 4:
c4=2.125+2.252=2.1875,
f(c4)approxln(2.1875)-sin(2.1875)approx0.7824-0.8173=-0.0349;(<0)
Raiz em . Agora , .

Passo 7

Iteração 5:
c5=2.1875+2.252=2.21875,
f(c5)approxln(2.21875)-sin(2.21875)approx0.7967-0.7984=-0.0017;(<0)
Raiz em . Logo , .

Passo 8

Iteração 6:
c6=2.21875+2.252=2.234375,
f(c6)approxln(2.234375)-sin(2.234375)approx0.8038-0.7881=0.0157;(>0)
Agora raiz em . Então , .

Passo 9

Iteração 7:
c7=2.21875+2.2343752=2.2265625,
f(c7)approxln(2.22656)-sin(2.22656)approx0.8002-0.7933=0.0069;(>0)
Raiz em . Fica , .

Passo 10

Iteração 8:
c8=2.21875+2.226562=2.22265625,
f(c8)approxln(2.22266)-sin(2.22266)approx0.7984-0.7958=0.0026;(>0)
Raiz em . Agora , .

Passo 11

Iteração 9:
c9=2.21875+2.222662=2.220703125,
f(c9)approxln(2.22070)-sin(2.22070)approx0.7975-0.7971=0.0005;(>0)
Raiz em . Então , .

Passo 12

Iteração 10 (largura do intervalo c10=2.21875+2.2207031252=2.2197265625,, menor que 0.001):
f(c10)approxln(2.21973)-sin(2.21973)approx0.7972-0.7978=-0.0006;(<0)
Agora o intervalo contendo a raiz é com largura .

Resposta

Aproximando com precisão de boxedxapprox2.2197, a raiz de é

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