Encontre aproximações para cada uma das integrais a seguir, utilizando polinômios de grau 2 e grau 3 .
integral0,5^2,5 x^3+1(2 x-6)^5 d x

Passo 1

Beleza, aqui a ideia é aproximar o valor da integral
integral0.5^2.5 x^3+1(2x-6)^5,dx
usando dois métodos de Newton–Cotes:
  1. a Regra de Simpson (que usa um polinômio de grau 2)
  2. a Regra 3/8 de Simpson (que usa um polinômio de grau 3)
Vamos precisar de:
  • Saber a fórmula de cada regra (Simpson e 3/8)
  • Calcular f(x)=x^3+1(2x-6)^5 em pontos específicos
  • Aplicar a fórmula e chegar no número aproximado

Passo 2

Aplicando a Regra de Simpson (polinômio de grau 2)
  1. Divide o intervalo [0.5,,2.5] em 2 subintervalos iguais: h=2.5-0.52=1, x0=0.5,;x1=1.5,;x2=2.5
  2. A fórmula de Simpson é integrala^bf(x),dx approx h3,l[f(x0)+4f(x1)+f(x2)r]
  3. Avaliando a função: f(0.5)=0.5^3+1(2cdot0.5-6)^5 =1.125(-5)^5=-0.00036, f(1.5)=1.5^3+1(-3)^5 =4.375-243approx -0.018005, f(2.5)=2.5^3+1(-1)^5 =16.625-1=-16.625
  4. Substituindo na regra: I2 =13l(-0.00036+4cdot(-0.018005)+(-16.625)r) =-16.697383approx -5.56579

Passo 3

Aplicando a Regra 3/8 de Simpson (polinômio de grau 3)
  1. Divide [0.5,,2.5] em 3 subintervalos iguais: h=2.5-0.53=tfrac23approx0.6667, x0=0.5,;x1=1.1667,;x2=1.8333,;x3=2.5
  2. A fórmula 3/8 é integrala^bf(x),dx approx 3h8,l[f(x0)+3f(x1)+3f(x2)+f(x3)r]
  3. Avaliando nos pontos: f(1.1667)approx -0.003907, f(1.8333)approx -0.10347, (já tínhamos f(0.5)=-0.00036, f(2.5)=-16.625)
  4. Substituindo: I3 =3cdot(2/3)8l(-0.00036+3(-0.003907)+3(-0.10347)+(-16.625)r) =0.25l(-16.94749r)approx -4.23687

Resposta

As aproximações ficam:
  • Com polinômio de grau 2 (Simpson): Iapprox -5.5658
  • Com polinômio de grau 3 (Simpson 3/8): Iapprox -4.2369

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