Explique as diferenças entre os seguintes tipos de erros:
Erro de arredondamento
Erro de arredondamento
Passo 1
Beleza, mano! O enunciado tá pedindo pra gente explicar a diferença entre dois “tipos de erro” que aparecem em cálculo numérico: o erro de truncamento e o erro de arredondamento. Isso faz parte da matéria de Métodos Numéricos / Análise de Erros. Pra resolver a gente vai precisar lembrar como funciona representação de números em ponto-flutuante e como aproximamos séries ou derivadas por diferenças finitas.
Passo 2
Vamos primeiro entender o erro de truncamento.
- Em muitos métodos numéricos você substitui processos infinitos (tipo somar uma série até o infinito ou derivar exatamente) por uma versão finita.
- Por exemplo, pra aproximar a derivada de
você pode usar a fórmula de diferença finita: Mas essa fórmula é só uma aproximação: a expansão de Taylor diz que pra algum . Se rearranjamos para aparece um restinho: - Em resumo, erro de truncamento é o que sobra quando você “corta” (trunca) uma expansão infinita ou ignora termos de ordem superior.
Passo 3
Agora, o erro de arredondamento.
- Computadores têm memória limitada: eles guardam números em ponto-flutuante com um número finito de dígitos.
- Sempre que o resultado de uma operação não cabe exatamente nesse formato, a máquina arredonda para mais próximo.
- Por exemplo, se você tentar guardar
em binário, ele vira algo como e precisa ser arredondado para um número finito de bits. - O erro de arredondamento de uma operação pode ser medido como
Passo 4
As principais diferenças entre eles são:
- Origem
- Truncamento vem de “cortar” processos infinitos (expansões, somas, integrais, etc.).
- Arredondamento vem de limitar quantos dígitos dá pra guardar na memória.
- Dependência de parâmetros
- O erro de truncamento costuma depender de algo que você escolhe, tipo o passo
(e normalmente ). - O erro de arredondamento depende da precisão da máquina (número de bits ou dígitos disponíveis).
- O erro de truncamento costuma depender de algo que você escolhe, tipo o passo
- Comportamento quando você refina
- Diminuir
reduz o truncamento, mas pode aumentar somas de arredondamento (mais operações). - Aumentar a precisão da máquina (mais bits) reduz o erro de arredondamento, mas não muda o truncamento.
- Diminuir
Resposta
O erro de truncamento aparece quando a gente “corta” séries ou aproximações infinitas (depende do passo
e costuma diminuir polinomialmente), enquanto o erro de arredondamento surge porque o computador só guarda um número finito de dígitos (depende da precisão da máquina). Eles têm origem diferente e nem sempre diminuem na mesma direção quando você refina o problema.