Explique as diferenças entre os seguintes tipos de erros:
Erro de arredondamento

Passo 1

Beleza, mano! O enunciado tá pedindo pra gente explicar a diferença entre dois “tipos de erro” que aparecem em cálculo numérico: o erro de truncamento e o erro de arredondamento. Isso faz parte da matéria de Métodos Numéricos / Análise de Erros. Pra resolver a gente vai precisar lembrar como funciona representação de números em ponto-flutuante e como aproximamos séries ou derivadas por diferenças finitas.

Passo 2

Vamos primeiro entender o erro de truncamento.
  1. Em muitos métodos numéricos você substitui processos infinitos (tipo somar uma série até o infinito ou derivar exatamente) por uma versão finita.
  2. Por exemplo, pra aproximar a derivada de f'(x) approx f(x+h)-f(x)h você pode usar a fórmula de diferença finita: f(x+h) = f(x) + h f'(x) + h^22 f''(xi), Mas essa fórmula é só uma aproximação: a expansão de Taylor diz que erro de truncamento = -h2 f''(xi) pra algum . Se rearranjamos para aparece um restinho:
  3. Em resumo, erro de truncamento é o que sobra quando você “corta” (trunca) uma expansão infinita ou ignora termos de ordem superior.

Passo 3

Agora, o erro de arredondamento.
  1. Computadores têm memória limitada: eles guardam números em ponto-flutuante com um número finito de dígitos.
  2. Sempre que o resultado de uma operação não cabe exatamente nesse formato, a máquina arredonda para mais próximo.
  3. Por exemplo, se você tentar guardar 0.0001100110011ldots2, em binário, ele vira algo como varepsilonrnd = xexato - xfloat e precisa ser arredondado para um número finito de bits.
  4. O erro de arredondamento de uma operação pode ser medido como

Passo 4

As principais diferenças entre eles são:
  1. Origem
    • Truncamento vem de “cortar” processos infinitos (expansões, somas, integrais, etc.).
    • Arredondamento vem de limitar quantos dígitos dá pra guardar na memória.
  2. Dependência de parâmetros
    • O erro de truncamento costuma depender de algo que você escolhe, tipo o passo (e normalmente ).
    • O erro de arredondamento depende da precisão da máquina (número de bits ou dígitos disponíveis).
  3. Comportamento quando você refina
    • Diminuir reduz o truncamento, mas pode aumentar somas de arredondamento (mais operações).
    • Aumentar a precisão da máquina (mais bits) reduz o erro de arredondamento, mas não muda o truncamento.

Resposta

O erro de truncamento aparece quando a gente “corta” séries ou aproximações infinitas (depende do passo e costuma diminuir polinomialmente), enquanto o erro de arredondamento surge porque o computador só guarda um número finito de dígitos (depende da precisão da máquina). Eles têm origem diferente e nem sempre diminuem na mesma direção quando você refina o problema.

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