O que é o épsilon de máquina e por que ele é importante para a aritmética computacional?
Passo 1
Beleza, vamos com calma. A pergunta é: “O que é o épsilon de máquina e por que ele é importante para a aritmética computacional?”
Matéria: representação de números em ponto flutuante e análise de erros.
O que a gente vai precisar: entender como um computador guarda números (formato ponto flutuante) e como rola aquele famoso “arredondamento” quando não cabe tudo.
Matéria: representação de números em ponto flutuante e análise de erros.
O que a gente vai precisar: entender como um computador guarda números (formato ponto flutuante) e como rola aquele famoso “arredondamento” quando não cabe tudo.
Passo 2
Antes de falar do épsilon, bora lembrar o que é ponto flutuante.
Num sistema de base β (normalmente β=2), todo número normalizado tem o formato
Num sistema de base β (normalmente β=2), todo número normalizado tem o formato
onde
-
e cada é um dígito em . -
é o número de dígitos da mantissa. -
é o expoente, numa faixa limitada.
Quando você tenta guardar, digamos, 1/3, nem sempre cabe tudo na mantissa. Aí o computador “arredonda” para o valor mais próximo que caiba.
Passo 3
Aí entra o épsilon de máquina,
. É basicamente o menor número positivo
tal que
no computador. Em outras palavras, se você somar algo menor que
a 1, vai continuar dando 1 depois do arredondamento.
Matematicamente, em ponto flutuante com arredondamento para o mais próximo, costuma-se usar a “unidade de arredondamento”
Esse
é o nosso
. Exemplo em IEEE754 de dupla precisão (β=2, p=53) dá
Passo 4
Por que isso importa?
- Limite de precisão: sabe aquele “vão” entre 1 e o próximo número representável? É tamanho
. - Erros de arredondamento: toda operação +, –, ×, ÷ vai errar no máximo em torno de
relativo ao valor exato. - Estabilidade numérica: ao analisar algoritmos (por ex., soma de muitos números, eliminação de Gauss), a gente usa
para estimar “o quanto meu resultado final pode estar errado”.
Passo 5
Resumindo a teoria aplicada:
- Representação limitada ⇒ inevitável arredondamento.
-
quantifica essa limitação mínima. - Qualquer cálculo flutante carrega erros da ordem de
. - Saber esse valor ajuda a projetar e avaliar algoritmos mais confiáveis.
Resposta
O épsilon de máquina,
(ou unidade de arredondamento
), é o menor número positivo tal que
na aritmética de ponto flutuante do computador. Ele representa a menor “granularidade” entre números, limitando a precisão e servindo de parâmetro para estimar erros de arredondamento e analisar a estabilidade de algoritmos numéricos.