O que é o épsilon de máquina e por que ele é importante para a aritmética computacional?

Passo 1

Beleza, vamos com calma. A pergunta é: “O que é o épsilon de máquina e por que ele é importante para a aritmética computacional?”
Matéria: representação de números em ponto flutuante e análise de erros.
O que a gente vai precisar: entender como um computador guarda números (formato ponto flutuante) e como rola aquele famoso “arredondamento” quando não cabe tudo.

Passo 2

Antes de falar do épsilon, bora lembrar o que é ponto flutuante.
Num sistema de base β (normalmente β=2), todo número normalizado tem o formato
pm,d0 d1 d2 dots dp-1 ,times, β^,e,
onde
  • e cada é um dígito em .
  • é o número de dígitos da mantissa.
  • é o expoente, numa faixa limitada.
    Quando você tenta guardar, digamos, 1/3, nem sempre cabe tudo na mantissa. Aí o computador “arredonda” para o valor mais próximo que caiba.

Passo 3

Aí entra o épsilon de máquina, 1 + epsilon > 1 . É basicamente o menor número positivo u = tfrac12,beta^,1-p tal que
epsilonmach = 2^-52approx 2,22times10^-16
no computador. Em outras palavras, se você somar algo menor que a 1, vai continuar dando 1 depois do arredondamento.
Matematicamente, em ponto flutuante com arredondamento para o mais próximo, costuma-se usar a “unidade de arredondamento”
Esse é o nosso . Exemplo em IEEE754 de dupla precisão (β=2, p=53) dá

Passo 4

Por que isso importa?
  1. Limite de precisão: sabe aquele “vão” entre 1 e o próximo número representável? É tamanho .
  2. Erros de arredondamento: toda operação +, –, ×, ÷ vai errar no máximo em torno de relativo ao valor exato.
  3. Estabilidade numérica: ao analisar algoritmos (por ex., soma de muitos números, eliminação de Gauss), a gente usa para estimar “o quanto meu resultado final pode estar errado”.

Passo 5

Resumindo a teoria aplicada:
  • Representação limitada ⇒ inevitável arredondamento.
  • quantifica essa limitação mínima.
  • Qualquer cálculo flutante carrega erros da ordem de .
  • Saber esse valor ajuda a projetar e avaliar algoritmos mais confiáveis.

Resposta

O épsilon de máquina, 1 + epsilonmach > 1 (ou unidade de arredondamento ), é o menor número positivo tal que
na aritmética de ponto flutuante do computador. Ele representa a menor “granularidade” entre números, limitando a precisão e servindo de parâmetro para estimar erros de arredondamento e analisar a estabilidade de algoritmos numéricos.

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