Explique a distribuição Binomial e a distribuição de Poisson, de forma detalhada e com suas palavras.

Passo 1

O enunciado pede para explicarmos, com nossas próprias palavras, duas distribuições de probabilidade discretas muito usadas em Engenharia e Estatística: a distribuição Binomial e a distribuição de Poisson. Para isso vamos ver em que tipo de experimento cada uma se aplica, qual é a sua função massa de probabilidade (pmf), as condições de uso e algumas de suas propriedades principais (média e variância).

Passo 2

Para começar, a distribuição Binomial modela o número de sucessos em n ensaios de Bernoulli independentes, cada um com probabilidade de sucesso p. Um ensaio de Bernoulli é aquele que só tem dois resultados possíveis: “sucesso” (com probabilidade p) ou “fracasso” (com probabilidade 1-p). Seja X a variável aleatória que conta quantos sucessos ocorrem em n ensaios. A pmf de X é
P(X=k) = \binom{n}{k}\,p^k\,(1-p)^{\,n-k},
para k=0,1,2,\dots,n. Aqui \binom{n}{k} é o número de formas de escolher quais k dos n ensaios deram sucesso.

Passo 3

Nas condições de uso da Binomial precisamos de:
  1. Ensaios independentes.
  2. Cada ensaio com mesma probabilidade de sucesso p.
  3. Dois resultados possíveis por ensaio.
    As propriedades mais importantes são a esperança e a variância de X:
E[X]=n\,p,
\mathrm{Var}(X)=n\,p\,(1-p).
Um exemplo prático é contar quantos componentes defeituosos aparecem em uma amostra de n peças quando a taxa de defeito é p.

Passo 4

A distribuição de Poisson modela o número de eventos que ocorrem num intervalo fixo de tempo ou espaço, quando esses eventos são raros e independentes, com taxa média de ocorrências \lambda. Seja Y o número de eventos em um intervalo. A pmf de Y é
P(Y=k) = \frac{\lambda^k\,e^{-\lambda}}{k!},
para k=0,1,2,\dots.

Passo 5

As condições para usar Poisson são:
  1. Eventos ocorrem de forma independente.
  2. A probabilidade de um evento em intervalos muito pequenos é proporcional ao tamanho do intervalo.
  3. Não ocorrem dois eventos exatamente no mesmo instante.
    As propriedades básicas são
E[Y]=\lambda,
\mathrm{Var}(Y)=\lambda.
Um exemplo típico é o número de chamadas que chegam a um call center em uma hora, quando chega em média \lambda chamadas por hora.

Passo 6

Há também uma conexão prática: se n é grande e p é pequeno de modo que n\,p=\lambda fique moderado, a Binomial \mathrm{Bin}(n,p) pode ser aproximada pela Poisson \mathrm{Pois}(\lambda). Isso é útil para simplificar cálculos quando n é muito grande.

Resposta

Distribuição Binomial:
P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k},\quad E[X]=n\,p,\\ \mathrm{Var}(X)=n\,p(1-p).
Distribuição de Poisson:
P(Y=k)=\frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!},\quad E[Y]=\lambda,\\ \mathrm{Var}(Y)=\lambda.
A Binomial vale para ensaios de Bernoulli repetidos; a Poisson vale para contagem de eventos raros em intervalos contínuos. A aproximação Binomial→Poisson funciona quando n é grande, p é pequeno e n\,p=\lambda fica fixo.

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