Explique a distribuição Binomial e a distribuição de Poisson, de forma detalhada e com suas palavras.
Passo 1
O enunciado pede para explicarmos, com nossas próprias palavras, duas distribuições de probabilidade discretas muito usadas em Engenharia e Estatística: a distribuição Binomial e a distribuição de Poisson. Para isso vamos ver em que tipo de experimento cada uma se aplica, qual é a sua função massa de probabilidade (pmf), as condições de uso e algumas de suas propriedades principais (média e variância).
Passo 2
Para começar, a distribuição Binomial modela o número de sucessos em
ensaios de Bernoulli independentes, cada um com probabilidade de sucesso
. Um ensaio de Bernoulli é aquele que só tem dois resultados possíveis: “sucesso” (com probabilidade
) ou “fracasso” (com probabilidade
). Seja
a variável aleatória que conta quantos sucessos ocorrem em
ensaios. A pmf de
é
para
. Aqui
é o número de formas de escolher quais
dos
ensaios deram sucesso.
Passo 3
Nas condições de uso da Binomial precisamos de:
- Ensaios independentes.
- Cada ensaio com mesma probabilidade de sucesso
. - Dois resultados possíveis por ensaio.
As propriedades mais importantes são a esperança e a variância de:
Um exemplo prático é contar quantos componentes defeituosos aparecem em uma amostra de
peças quando a taxa de defeito é
.
Passo 4
A distribuição de Poisson modela o número de eventos que ocorrem num intervalo fixo de tempo ou espaço, quando esses eventos são raros e independentes, com taxa média de ocorrências
. Seja
o número de eventos em um intervalo. A pmf de
é
para
.
Passo 5
As condições para usar Poisson são:
- Eventos ocorrem de forma independente.
- A probabilidade de um evento em intervalos muito pequenos é proporcional ao tamanho do intervalo.
- Não ocorrem dois eventos exatamente no mesmo instante.
As propriedades básicas são
Um exemplo típico é o número de chamadas que chegam a um call center em uma hora, quando chega em média
chamadas por hora.
Passo 6
Há também uma conexão prática: se
é grande e
é pequeno de modo que
fique moderado, a Binomial
pode ser aproximada pela Poisson
. Isso é útil para simplificar cálculos quando
é muito grande.
Resposta
Distribuição Binomial:
Distribuição de Poisson:
A Binomial vale para ensaios de Bernoulli repetidos; a Poisson vale para contagem de eventos raros em intervalos contínuos. A aproximação Binomial→Poisson funciona quando
é grande,
é pequeno e
fica fixo.