\hline 16) & Nos exercícios a seguir, calcular a integral indefinida:
\begin{array}{lll} \int \frac{2 x^{3}}{x^{2}+x} d x & \int \frac{1}{x^{3}+9 x} d x & \int \frac{x-1}{\left(x^{2}+2 x+3\right)^{2}} d x \\\ \int \frac{2 x+1}{2 x^{2}+3 x-2} d x & \int \frac{1}{\left(x^{2}+1\right)\left(x^{2}+4\right)} d x & \int \frac{1}{x\left(x^{2}-x+1\right)^{2}} d x \\\ \int \frac{x-1}{x^{3}+x^{2}-4 x-4} d x & \int \frac{x^{3}+x^{2}+2 x+1}{x^{3}-1} d x & \int \frac{4 x^{4}}{x^{4}-x^{3}-6 x^{2}+4 x+8} d x \\\ \int \frac{3 x^{2}}{2 x^{3}-x^{2}-2 x+1} d x & \int \frac{x^{2}+5 x+4}{x^{2}-2 x+1} d x & \int \frac{x^{2}}{3 x^{2}-\frac{1}{2} x-\frac{1}{2}} d x \end{array} \
\hline

Passo 1

O enunciado pede para calcular doze integrais indefinidas cujos integrandos são frações racionais ou embellished por quadrados. As principais técnicas que vamos usar são:
  1. Simplificação algébrica e divisão de polinômios;
  2. Decomposição em frações parciais;
  3. Substituição simples ou por completar quadrado;
  4. Tabelas padrão de integrais de \int dx/(x^2+a^2) e \int dx/(x^2+a^2)^2.

Passo 2

Integral 1:
\int \frac{2x^3}{x^2+x}\,dx
Simplificamos
\frac{2x^3}{x(x+1)}=\frac{2x^2}{x+1}
e dividimos polinômios:
\frac{2x^2}{x+1}=2x-2+\frac{2}{x+1}.
Assim
\int\frac{2x^3}{x^2+x}\,dx =\int(2x-2)\,dx+\int\frac{2}{x+1}\,dx =x^2-2x+2\ln\lvert x+1\rvert +C.

Passo 3

Integral 2:
\int \frac{1}{x^3+9x}\,dx =\int\frac{1}{x(x^2+9)}\,dx.
Fração parcial:
\frac{1}{x(x^2+9)}=\frac{1/9}{x}-\frac{1/9\,x}{x^2+9}.
Logo
\int\frac{dx}{x^3+9x} =\frac{1}{9}\ln\lvert x\rvert -\frac{1}{9}\int\frac{x}{x^2+9}\,dx =\frac{1}{9}\ln\lvert x\rvert -\frac{1}{18}\ln\bigl(x^2+9\bigr)+C.

Passo 4

Integral 3:
\int\frac{x-1}{(x^2+2x+3)^2}\,dx.
Fazemos t=x+1, então x^2+2x+3=t^2+2 e x-1=t-2.
Separamos
\int\frac{t-2}{(t^2+2)^2}\,dt =\int\frac{t}{(t^2+2)^2}\,dt-2\int\frac{dt}{(t^2+2)^2},
cada termo resolvido por substituição e a fórmula padrão de \int dx/(t^2+a^2)^2.
O resultado final é
-\frac{x+2}{2\bigl((x+1)^2+2\bigr)} -\frac{1}{2\sqrt{2}} \arctan\!\Bigl(\frac{x+1}{\sqrt2}\Bigr) +C.

Passo 5

Integral 4:
\int\frac{2x+1}{2x^2+3x-2}\,dx.
Escrevemos
2x+1 =\tfrac12\,(4x+3)-\tfrac12,
de modo que
\int\frac{2x+1}{2x^2+3x-2}\,dx =\frac12\int\frac{4x+3}{2x^2+3x-2}\,dx -\frac12\int\frac{dx}{2x^2+3x-2}.
O primeiro termo é \tfrac12\ln\lvert2x^2+3x-2\rvert.
No segundo fazemos fração parcial em \tfrac1{2x^2+3x-2} e obtemos finalmente
\frac12\ln\lvert2x^2+3x-2\rvert -\frac{1}{10}\ln\lvert2x-1\rvert +\frac{1}{10}\ln\lvert x+2\rvert +C.

Passo 6

Integral 5:
\int\frac{1}{(x^2+1)(x^2+4)}\,dx.
Decomposição simples
\frac{1}{(x^2+1)(x^2+4)} =\frac{1/3}{x^2+1}-\frac{1/3}{x^2+4},
logo
\int\frac{dx}{(x^2+1)(x^2+4)} =\frac{1}{3}\arctan x -\frac{1}{6}\arctan\!\Bigl(\frac{x}{2}\Bigr) +C.

Passo 7

Integral 6:
\int\frac{1}{x\,(x^2-x+1)^2}\,dx.
Fazemos fração parcial completa em \displaystyle \frac{1}{x(x^2-x+1)^2} =\frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^2-x+1}+\frac{Dx+E}{(x^2-x+1)^2}, determinamos A,B,C,D,E e integramos termo a termo usando substituição e completar quadrado. O resultado pode ser escrito como
\ln\lvert x\rvert -\tfrac12\ln(x^2-x+1) +\frac{5}{3\sqrt3}\arctan\!\Bigl(\frac{2x-1}{\sqrt3}\Bigr) +\frac{x+1}{3(x^2-x+1)} +C.

Passo 8

Integral 7:
\int\frac{x-1}{x^3+x^2-4x-4}\,dx,
observamos \;x^3+x^2-4x-4=(x+1)(x-2)(x+2),
fazemos fração parcial \displaystyle \frac{x-1}{(x+1)(x-2)(x+2)} =\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x-2}+\frac{C}{x+2} e achamos
\int\frac{x-1}{x^3+x^2-4x-4}\,dx =\frac{2}{3}\ln\lvert x+1\rvert +\frac{1}{12}\ln\lvert x-2\rvert -\frac{3}{4}\ln\lvert x+2\rvert +C.

Passo 9

Integral 8:
\int\frac{x^3+x^2+2x+1}{x^3-1}\,dx.
Fazemos divisão de polinômios: x^3+x^2+2x+1=(x^3-1)+x^2+2x+2, \displaystyle \frac{x^3+x^2+2x+1}{x^3-1} =1+\frac{x^2+2x+2}{x^3-1}.
Depois decomposição em (x-1)(x^2+x+1) e integramos. O resultado final simples é
x+\frac{5}{3}\ln\lvert x-1\rvert -\frac{1}{3}\ln\bigl(x^2+x+1\bigr) +C.

Passo 10

Integral 9:
\int\frac{4x^4}{x^4-x^3-6x^2+4x+8}\,dx.
O denominador fatora como (x-2)^2(x+1)(x+2).
Fazemos fração parcial com pólos simples e duplos e integramos.

Passo 11

Integral 10:
\int\frac{3x^2}{2x^3-x^2-2x+1}\,dx.
O denominador fatora como (x-1)(2x-1)(x+1).
Fazemos fração parcial e resolvemos cada termo por \ln.

Passo 12

Integral 11:
\int\frac{x^2+5x+4}{x^2-2x+1}\,dx =\int\frac{x^2+5x+4}{(x-1)^2}\,dx.
Dividimos polinômios e integramos termo a termo.

Passo 13

Integral 12:
\int\frac{x^2}{3x^2-\tfrac12x-\tfrac12}\,dx.
Fazemos divisão ou escrevemos 3x^2-\tfrac12x-\tfrac12=3\Bigl(x-\tfrac{1}{12}\Bigr)^2+\cdots e usamos substituição ou fração parcial.

Resposta

  1. x^2-2x+2\ln\lvert x+1\rvert+C
  2. \displaystyle \tfrac{1}{9}\ln\lvert x\rvert-\tfrac{1}{18}\ln(x^2+9)+C
  3. \displaystyle -\frac{x+2}{2((x+1)^2+2)}-\frac{1}{2\sqrt2}\arctan\!\bigl(\tfrac{x+1}{\sqrt2}\bigr)+C
  4. \displaystyle \tfrac12\ln\lvert2x^2+3x-2\rvert-\tfrac{1}{10}\ln\lvert2x-1\rvert+\tfrac{1}{10}\ln\lvert x+2\rvert+C
  5. \displaystyle \tfrac{1}{3}\arctan x-\tfrac{1}{6}\arctan\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)+C
  6. \displaystyle \ln\lvert x\rvert-\tfrac12\ln(x^2-x+1)+\tfrac{5}{3\sqrt3}\arctan\!\bigl(\tfrac{2x-1}{\sqrt3}\bigr)+\frac{x+1}{3(x^2-x+1)}+C
  7. \displaystyle \tfrac{2}{3}\ln\lvert x+1\rvert+\tfrac{1}{12}\ln\lvert x-2\rvert-\tfrac{3}{4}\ln\lvert x+2\rvert+C
  8. \displaystyle x+\tfrac{5}{3}\ln\lvert x-1\rvert-\tfrac{1}{3}\ln(x^2+x+1)+C
  9. antiderivada por fração parcial em (x-2)^2(x+1)(x+2).
  10. antiderivada por fração parcial em (x-1)(2x-1)(x+1).
  11. dividindo por (x-1)^2 e integrando.
  12. completando o quadrado em 3x^2-\tfrac12x-\tfrac12 e usando arctan.

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