Use a Definição 1 para determinar se as funções y1 e y2 são linearmente dependentes do intervalo (0,1). y1(t)=cos t sen t, y2(t)=sen 2 t

Passo 1

O enunciado pede para verificar se as funções
,y1(t)=cos tsin t e ,y2(t)=sin 2t
são linearmente dependentes no intervalo (0,1), usando a definição de dependência linear: existem constantes c1,c2, não ambas zero, tais que
c1,y1(t)+c2,y2(t)=0
para todo tin(0,1).

Passo 2

Pela definição, duas funções são linearmente dependentes se uma pode ser obtida como múltiplo escalar da outra, ou equivalentemente se existe relação linear não trivial entre elas.

Passo 3

Usamos a identidade trigonométrica
sin(2t)=2sin tcos t
Como ,y1(t)=cos tsin t, obtemos
y2(t)=sin(2t)=2,l(sin tcos tr)=2,y1(t)

Passo 4

Da igualdade y2(t)-2,y1(t)=0 para todo t, basta escolher
c1=-2, c2=1,
para ter
c1,y1(t)+c2,y2(t)=-2,y1(t)+1cdot y2(t)=0

Resposta

As funções y1 e y2 são linearmente dependentes em (0,1), pois sin2t=2cos tsin t.

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