Use o método descrito no Problema 21 para encontrar uma solução geral para a equação dada: 3 y^prime-7 y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem com coeficientes constantes
3,y' - 7,y = 0
Esse tipo de problema cai na matéria de equações diferenciais ordinárias de primeira ordem. Vamos usar o método de separação de variáveis (que é o mesmo do Problema 21) pois a equação é homogênea e linear com coeficientes constantes.

Passo 2

Primeiro, escrevemos a equação em forma padrão, isolando y':
3,y' = 7,y Longrightarrow y' = 73,y

Passo 3

Agora aplicamos separação de variáveis: colocamos todos os termos em y de um lado e em x do outro. Como y' = tfracdydx, temos
dydx = 73,y Longrightarrow 1y,dy = 73,dx

Passo 4

Integramos os dois lados:
integral 1y,dy = integral 73,dx
O lado esquerdo dá ln|y| e o direito dá tfrac73x, mais constante de integração C:
ln|y| = 73,x + C

Passo 5

Para encontrar y, exponenciamos ambos os lados:
|y| = e^73x + C = e^C,e^73x
Como e^C é uma constante positiva arbitrária, denotamos A = pm e^C para absorver o sinal e obter solução geral.

Passo 6

Logo a solução geral da equação é
y(x) = A ,e^73x,
onde A é constante arbitrária real.

Resposta

A solução geral é
y(x) = A,e^73x, AinR

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