Explique o que se entende por velocidade média, velocidade quadrática média e velocidade mais provável das moléculas de um gás. Diferencie esses conceitos com base na fórmula e no significado físico.

Passo 1

O enunciado pede para definirmos três quantidades associadas à distribuição de velocidades de um gás ideal monoatômico em equilíbrio térmico: a velocidade mais provável, a velocidade média e a velocidade quadrática média (ou raiz-média-quadrática). O conteúdo envolvido é a distribuição de Maxwell–Boltzmann de velocidades e integrais de momento.

Passo 2

Começamos pela função densidade de probabilidade das velocidades em módulo v, que é dada por
f(v) \;=\; 4\pi \biggl(\frac{m}{2\pi kT}\biggr)^{3/2} v^{2} \exp\!\Bigl(-\frac{m v^{2}}{2kT}\Bigr),
onde m é a massa de uma molécula, k é a constante de Boltzmann e T a temperatura absoluta. Qualquer grandeza média requer integrar f(v) com o peso apropriado.

Passo 3

Para achar a velocidade mais provável v_{\rm mp}, maximizamos f(v) em relação a v. Fazendo \mathrm{d}f/\mathrm{d}v=0, obtém-se
v_{\rm mp} = \sqrt{\frac{2kT}{m}}.
Significado físico: é o valor de v em que f(v) atinge o pico, ou seja, a velocidade mais frequente entre as moléculas.

Passo 4

A velocidade média \bar v é dada por
\bar v = \int_{0}^{\infty} v\,f(v)\,\mathrm{d}v = \sqrt{\frac{8kT}{\pi m}}.
Significado físico: é a média aritmética de todas as velocidades, ponderada pela probabilidade de cada v.

Passo 5

A velocidade quadrática média v_{\rm rms} (ou raiz-média-quadrática) é
v_{\rm rms} = \sqrt{\langle v^{2}\rangle} = \sqrt{\int_{0}^{\infty} v^{2}\,f(v)\,\mathrm{d}v} = \sqrt{\frac{3kT}{m}}.
Significado físico: relaciona-se diretamente à energia cinética média das moléculas, pois
\tfrac12 m v_{\rm rms}^{2} = \tfrac32 kT.

Passo 6

Resumo das diferenças:
  • v_{\rm mp} = \sqrt{2kT/m} é o modos da distribuição, a velocidade mais frequente.
  • \bar v = \sqrt{8kT/(\pi m)} é a média aritmética das velocidades.
  • v_{\rm rms} = \sqrt{3kT/m} é a média quadrática das velocidades, ligada à energia cinética média.

Resposta

v_{\rm mp} = \sqrt{\tfrac{2kT}{m}} (mais provável);
\bar v = \sqrt{\tfrac{8kT}{\pi m}} (média aritmética);
v_{\rm rms} = \sqrt{\tfrac{3kT}{m}} (raiz-média-quadrática).

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