A partir da distribuição de velocidades moleculares de Maxwell-Boltzmann, justifique por que nem todas as moléculas de um gás possuem a mesma velocidade, mesmo estando à mesma temperatura.

Passo 1

O enunciado pede para explicar, a partir da distribuição de velocidades de Maxwell–Boltzmann, por que moléculas de um mesmo gás à mesma temperatura não têm todas a mesma velocidade. Vamos usar a forma da distribuição de velocidades, interpretar seu significado estatístico e calcular sua variância para mostrar que há dispersão de velocidades.

Passo 2

A distribuição de Maxwell–Boltzmann para a velocidade escalar v de moléculas de massa m em equilíbrio térmico à temperatura T é
f(v) =4\pi\biggl(\frac{m}{2\pi kT}\biggr)^{3/2}v^{2} \exp\Bigl(-\frac{mv^{2}}{2kT}\Bigr),
onde k é a constante de Boltzmann. Aqui f(v)\,\mathrm{d}v é a probabilidade de encontrar uma molécula com velocidade entre v e v+\mathrm{d}v.

Passo 3

Para ver que nem todas as moléculas têm a mesma velocidade, basta mostrar que a distribuição não é um pico único, mas tem largura finita. Calculamos o valor médio e a variância:
\langle v\rangle =\int_{0}^{\infty}v\,f(v)\,\mathrm{d}v =\sqrt{\frac{8kT}{\pi m}},
\langle v^{2}\rangle =\int_{0}^{\infty}v^{2}\,f(v)\,\mathrm{d}v =\frac{3kT}{m},
\sigma^{2} =\langle v^{2}\rangle-\langle v\rangle^{2} =\frac{3kT}{m}-\frac{8kT}{\pi m} =\frac{kT}{m}\Bigl(3-\frac{8}{\pi}\Bigr)>0.
Como \sigma^{2}>0, há dispersão de velocidades em torno de \langle v\rangle.

Passo 4

Físicamente, colisões e trocas de energia cinética entre moléculas fazem com que cada molécula tenha uma energia (e, portanto velocidade) ligeiramente diferente, mas distribuída segundo f(v). Em equilíbrio térmico, mantém-se essa distribuição estável, não um valor único de v.

Resposta

Nem todas as moléculas têm a mesma velocidade porque a distribuição de Maxwell–Boltzmann é contínua e possui variância não nula, de modo que as velocidades aparecem dispersas em torno de um valor médio determinado pela temperatura.

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