Questão 4. Calcule a convolução das funções f(t)=t^{2}+2 e g(t)=3 t.

Passo 1

O enunciado pede a convolução das funções f(t)=t^{2}+2 e g(t)=3t. Isso envolve o conceito de convolution, definido para sinais causais (assumindo f(t)=0 e g(t)=0 para t<0) por
(f*g)(t)=\int_{0}^{t}f(\tau)\,g(t-\tau)\,\mathrm{d}\tau.

Passo 2

Vamos substituir f(\tau) e g(t-\tau) na integral:
f(\tau)=\tau^{2}+2, \quad g(t-\tau)=3\,(t-\tau).
Logo
(f*g)(t)=\int_{0}^{t}(\tau^{2}+2)\,3\,(t-\tau)\,\mathrm{d}\tau =3\int_{0}^{t}\bigl(\tau^{2}(t-\tau)+2(t-\tau)\bigr)\mathrm{d}\tau.

Passo 3

Expandimos o integrando:
\tau^{2}(t-\tau)+2(t-\tau) = t\,\tau^{2}-\tau^{3}+2t-2\tau.
Portanto
(f*g)(t)=3\int_{0}^{t}\bigl(t\,\tau^{2}-\tau^{3}+2t-2\tau\bigr)\mathrm{d}\tau.

Passo 4

Integramos termo a termo:
\int_{0}^{t}t\,\tau^{2}\mathrm{d}\tau =t\cdot\frac{t^{3}}{3} =\frac{t^{4}}{3},
\int_{0}^{t}\tau^{3}\mathrm{d}\tau =\frac{t^{4}}{4},
\int_{0}^{t}2t\,\mathrm{d}\tau =2t\cdot t =2t^{2},
\int_{0}^{t}2\tau\,\mathrm{d}\tau =2\cdot\frac{t^{2}}{2} =t^{2}.
Logo
\int_{0}^{t}\bigl(t\,\tau^{2}-\tau^{3}+2t-2\tau\bigr)\mathrm{d}\tau =\frac{t^{4}}{3}-\frac{t^{4}}{4}+2t^{2}-t^{2} =\frac{t^{4}}{12}+t^{2}.

Passo 5

Multiplicando por 3, obtemos
(f*g)(t) =3\Bigl(\frac{t^{4}}{12}+t^{2}\Bigr) =\frac{t^{4}}{4}+3\,t^{2},
para t\ge0, e (f*g)(t)=0 para t<0.

Resposta

(f*g)(t)= \begin{cases} \displaystyle \frac{t^{4}}{4}+3t^{2},&t\ge0,\\\\ 0,&t<0. \end{cases}

Exercícios relacionados