Resolva as equações abaixo, para x in R.
raizx+raizx-raizx-raizx=43 raizxx+raizx

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação envolvendo radicais raizx+raizx - raizx-raizx = tfrac43raizxx+raizx. O conteúdo aqui é manipulação de expressões com raízes e substituição para simplificar. Vamos precisar determinar o domínio de x e depois usar a substituição t=raizx.

Passo 2

Primeiro, achamos o domínio. Para ter as raízes definidas, precisamos de: x+raizx>=0 (sempre verdade para x>=0) e x-raizx>=0. Esta última dá raizx(raizx-1)>=0, ou seja, x>=1. Portanto, a equação só faz sentido para x>=1.

Passo 3

Fazendo a substituição t=raizx com t>0, temos x=t^2. Então:
raizx+raizx=raizt^2+t=raizt,raizt+1,
raizx-raizx=raizt^2-t=raizt,raizt-1
E
raizxx+raizx=raizt^2t^2+t=traizt(t+1)=raiztraizt+1

Passo 4

Substituindo essas expressões na equação inicial e dividindo ambos os lados por raizt, obtemos:
raizt+1-raizt-1=tfrac43,1raizt+1

Passo 5

Multiplicando ambos os lados por raizt+1:
(t+1)-raizt^2-1=tfrac43

Passo 6

Isolando a raiz:
raizt^2-1=t+1-tfrac43=t-tfrac13

Passo 7

Elevando ao quadrado ambos os lados:
t^2-1=l(t-tfrac13r)^2=t^2-tfrac23t+tfrac19

Passo 8

Simplificando:
-1=-tfrac23t+tfrac19Longrightarrow t=tfrac53

Passo 9

Como t=raizx, segue raizx=tfrac53 e, elevando ao quadrado, x=tfrac259. Este valor está no domínio x>=1, logo é válido.

Resposta

x=tfrac259

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