Resolva as equações abaixo, para x in R.
1+x-raiz2 x+x^21+x+raiz2 x+x^2=raiz2+x+raizxraiz2+x-raizx

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
1+x-raiz2x+x^21+x+raiz2x+x^2 = raiz2+x+raizxraiz2+x-raizx,
para xinR. O conteúdo envolvido é a manipulação de radicais e equações racionais; vamos precisar determinar o domínio, simplificar a expressão por meio de substituições e resolver a equação resultante.

Passo 2

Determinamos o domínio impondo que todos os radicais sejam reais e os denominadores não nulos.
Para raiz2x+x^2 é necessário
x(x+2)>=0implies x>=0 ou x<=-2,
e para raizx e raizx+2 é preciso x>=0.
Com isso o domínio comum é
x>=0,
e, nesse intervalo, nenhum dos denominadores se anula.

Passo 3

Observe que
raiz2x+x^2=raizx(x+2)=raizx,raizx+2
Introduzimos as variáveis auxiliares
A=raizx, B=raizx+2,
com A>=0 e B>=raiz2.

Passo 4

Em termos de A,B temos x=A^2, x+2=B^2,
1+x=1+A^2, raiz2x+x^2=AB,
e a equação fica
1+A^2 - AB1+A^2 + AB = A+BB-A

Passo 5

Efetuando a multiplicação cruzada,
(1+A^2 - AB)(B-A) = (1+A^2 + AB)(A+B)
Ao expandir e reunir termos semelhantes, chega-se a
-2A^3 - 2A - 2AB^2 = 0

Passo 6

Fatorando o lado esquerdo:
-2Al(A^2 + 1 + B^2r)=0
Como A^2+1+B^2>0 para todos A,B, a única possibilidade é
A=0

Passo 7

Voltando à variável original, A=raizx=0 implica
x=0
Verificando no enunciado, para x=0 ambos os lados valem 1, confirmando a solução no domínio x>=0.

Resposta

x=0

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