Resolva as equações abaixo, para
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação
para
. O conteúdo envolvido é a manipulação de radicais e equações racionais; vamos precisar determinar o domínio, simplificar a expressão por meio de substituições e resolver a equação resultante.
Passo 2
Determinamos o domínio impondo que todos os radicais sejam reais e os denominadores não nulos.
Para é necessário
Para
e para
e
é preciso
.
Com isso o domínio comum é
Com isso o domínio comum é
e, nesse intervalo, nenhum dos denominadores se anula.
Passo 3
Observe que
Introduzimos as variáveis auxiliares
com
e
.
Passo 4
Em termos de
temos
,
,
e a equação fica
Passo 5
Efetuando a multiplicação cruzada,
Ao expandir e reunir termos semelhantes, chega-se a
Passo 6
Fatorando o lado esquerdo:
Como
para todos
, a única possibilidade é
Passo 7
Voltando à variável original,
implica
Verificando no enunciado, para
ambos os lados valem
, confirmando a solução no domínio
.