Explique por que a função é diferenciável no ponto dado. A seguir, encontre a linearização
da função naquele ponto.
(b)
,
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente explicar por que a função
é diferenciável em um certo ponto e, em seguida, encontrar a linearização
dessa função nesse ponto. Vamos precisar entender sobre diferenciabilidade e como calcular a linearização de uma função de duas variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre diferenciabilidade. Uma função é diferenciável em um ponto se ela tiver derivadas parciais contínuas nesse ponto. Isso basicamente significa que a função se comporta de forma “suave” ali, sem cantos ou descontinuidades bruscas.
Passo 3
Para a nossa função
, a gente precisa verificar onde ela está bem definida. O denominador
não pode ser zero, pois não podemos dividir por zero. Então, a função é diferenciável em todos os pontos onde
.
Passo 4
Agora, vamos encontrar a linearização
da função no ponto dado. A linearização é uma aproximação linear da função perto desse ponto, e ela é dada por:
Aqui,
é o ponto em que estamos linearizando, e
e
são as derivadas parciais de
em relação a
e
, respectivamente.
Passo 5
Vamos calcular as derivadas parciais da função
:
- Derivada parcial em relação a
:
- Derivada parcial em relação a
:
Passo 6
Agora, substituímos esses valores na fórmula da linearização:
Simplificando, temos:
Resposta
A função
é diferenciável no ponto considerado porque suas derivadas parciais existem e são contínuas nesse ponto. A linearização da função nesse ponto é dada por: