Explique por que a função é diferenciável no ponto dado. A seguir, encontre a linearização L(x, y) da função naquele ponto.
(b) f(x, y) = x / (x + y),

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente explicar por que a função é diferenciável em um certo ponto e, em seguida, encontrar a linearização dessa função nesse ponto. Vamos precisar entender sobre diferenciabilidade e como calcular a linearização de uma função de duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre diferenciabilidade. Uma função é diferenciável em um ponto se ela tiver derivadas parciais contínuas nesse ponto. Isso basicamente significa que a função se comporta de forma “suave” ali, sem cantos ou descontinuidades bruscas.

Passo 3

Para a nossa função , a gente precisa verificar onde ela está bem definida. O denominador não pode ser zero, pois não podemos dividir por zero. Então, a função é diferenciável em todos os pontos onde .

Passo 4

Agora, vamos encontrar a linearização da função no ponto dado. A linearização é uma aproximação linear da função perto desse ponto, e ela é dada por:
Aqui, é o ponto em que estamos linearizando, e e são as derivadas parciais de em relação a e , respectivamente.

Passo 5

Vamos calcular as derivadas parciais da função :
  1. Derivada parcial em relação a :
  1. Derivada parcial em relação a :

Passo 6

Agora, substituímos esses valores na fórmula da linearização:
Simplificando, temos:

Resposta

A função é diferenciável no ponto considerado porque suas derivadas parciais existem e são contínuas nesse ponto. A linearização da função nesse ponto é dada por:

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