(2,0 pontos) Resolva a equação diferencial abaixo empregando o método de separação de variáveis,
\frac{d y}{d x}=\frac{x y+2 y-x-2}{x y-3 y+x-3}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
\frac{dy}{dx} = \frac{x y + 2 y - x - 2}{x y - 3 y + x - 3}
usando o método de separação de variáveis. Vamos precisar fatorar numerador e denominador, isolar as partes em x e y e depois integrar cada lado.

Passo 2

Observe que o numerador e o denominador podem ser fatorados:
x y + 2 y - x - 2 = (y-1)(x+2),
x y - 3 y + x - 3 = (y+1)(x-3).
Logo a equação fica
\frac{dy}{dx} = \frac{(y-1)(x+2)}{(y+1)(x-3)}.

Passo 3

Separamos as variáveis agrupando em cada lado só termos de y com dy e de x com dx:
\frac{y+1}{y-1}\,dy = \frac{x+2}{x-3}\,dx.

Passo 4

Agora integramos ambos os lados. No lado de y:
\int \frac{y+1}{y-1}\,dy = \int \Bigl(1 + \frac{2}{y-1}\Bigr)\,dy = y + 2\ln\bigl|y-1\bigr| + C_1.
No lado de x:
\int \frac{x+2}{x-3}\,dx = \int \Bigl(1 + \frac{5}{x-3}\Bigr)\,dx = x + 5\ln\bigl|x-3\bigr| + C_2.
Igualando e absorvendo C_2 - C_1 numa constante C, obtemos
y + 2\ln\bigl|y-1\bigr| = x + 5\ln\bigl|x-3\bigr| + C.

Passo 5

Reorganizando a constante e colocando tudo num mesmo lado, a solução geral fica de forma implícita:
y - x + 2\ln\bigl|y-1\bigr| - 5\ln\bigl|x-3\bigr| = C,
onde C é constante arbitrária.

Resposta

y - x + 2\ln\bigl|y-1\bigr| - 5\ln\bigl|x-3\bigr| = C.

Exercícios relacionados