(2,0 pontos) Resolva a equação diferencial abaixo empregando o método de variação de parâmetros.
y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+y=e^{-x} \ln x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y'' + 2y' + y = e^{-x}\ln x
usando o método de variação de parâmetros. É uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Primeiro vamos achar a solução geral da homogênea e depois usar variação de parâmetros para obter uma solução particular.

Passo 2

A equação homogênea associada é
y'' + 2y' + y = 0.
A equação característica é
r^2 + 2r + 1 = 0 \quad\Longrightarrow\quad (r+1)^2 = 0,
logo tem raiz dupla r=-1. Portanto a solução geral da homogênea é
y_h = C_1 e^{-x} + C_2\,x e^{-x}.

Passo 3

Para variação de parâmetros tomamos as duas soluções fundamentais
y_1 = e^{-x},\qquad y_2 = x e^{-x}.
Calculamos o Wronskiano
W = \begin{vmatrix} y_1 & y_2\\\ y_1' & y_2' \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} e^{-x} & x e^{-x}\\\\ -\,e^{-x} & (1-x)e^{-x} \end{vmatrix} = e^{-2x}.

Passo 4

Na forma padrão y''+2y'+y=R(x) com R(x)=e^{-x}\ln x, as fórmulas são
u_1' = -\frac{y_2\,R}{W},\qquad u_2' = \frac{y_1\,R}{W}.
Substituindo y_1,y_2,R,W:
u_1' = -\frac{x e^{-x}\cdot e^{-x}\ln x}{e^{-2x}} = -x\ln x, \qquad u_2' = \frac{e^{-x}\cdot e^{-x}\ln x}{e^{-2x}} = \ln x.

Passo 5

Integramos para obter u_1 e u_2:
u_1 = -\int x\ln x\,dx = -\Bigl(\tfrac{x^2}{2}\ln x - \tfrac{x^2}{4}\Bigr) = -\tfrac{x^2}{2}\ln x + \tfrac{x^2}{4},
u_2 = \int \ln x\,dx = x\ln x - x.

Passo 6

A solução particular é
y_p = u_1\,y_1 + u_2\,y_2 = \Bigl(-\tfrac{x^2}{2}\ln x + \tfrac{x^2}{4}\Bigr)e^{-x} + \bigl(x\ln x - x\bigr)\,x e^{-x}.
Fatorando e^{-x} e combinando termos:
y_p = e^{-x}\Bigl(\tfrac{x^2}{2}\ln x - \tfrac{3x^2}{4}\Bigr).

Passo 7

A solução geral da EDO é a soma da homogênea com a particular:
y = y_h + y_p = C_1 e^{-x} + C_2 x e^{-x} + e^{-x}\Bigl(\tfrac{x^2}{2}\ln x - \tfrac{3x^2}{4}\Bigr).

Resposta

y(x) = C_1 e^{-x} + C_2 x e^{-x} + e^{-x}\Bigl(\tfrac{x^2}{2}\ln x - \tfrac{3x^2}{4}\Bigr).

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