Explique a lei de Arrhenius através de um conceito estatístico.

Passo 1

O enunciado pede para entendermos a lei de Arrhenius por meio de um conceito estatístico. O conteúdo central é cinética química e estatística de gás ideal, em particular a distribuição de energias de Maxwell–Boltzmann. Vamos usar esse conceito para derivar a dependência exponencial da constante de velocidade k com a temperatura T.

Passo 2

Em um gás ideal à temperatura T, a distribuição de energias de translação das moléculas é dada (até um fator de normalização) por
f(E)\propto E^{1/2}\exp\Bigl(-\frac{E}{k_B T}\Bigr),
onde E é a energia cinética de uma molécula e k_B é a constante de Boltzmann. Essa expressão nos diz que, à medida que E aumenta, a probabilidade de encontrar moléculas com energia exatamente E decai exponencialmente.

Passo 3

Para que uma reação ocorra, as moléculas precisam ter energia maior ou igual à energia de ativação E_a. A fração \varphi de moléculas com E\ge E_a é
\varphi = \int_{E_a}^{\infty} f(E)\,dE.
Quando E_a\gg k_B T, o termo dominante é o decaimento exponencial, e podemos aproximar
\varphi \approx \exp\Bigl(-\frac{E_a}{k_B T}\Bigr).

Passo 4

A constante de velocidade k é proporcional ao número de colisões efetivas por unidade de tempo, ou seja, à frequência de colisões f_c vezes a fração \varphi. Logo
k \propto f_c \,\exp\Bigl(-\frac{E_a}{k_B T}\Bigr).
O fator f_c agrupa aspectos como densidade, velocidade média e probabilidade de orientação adequada das moléculas antes da reação.

Passo 5

Substituindo k_B por R/N_A (onde R é a constante universal dos gases e N_A a constante de Avogadro) e definindo A\equiv f_c, obtemos a forma clássica da lei de Arrhenius:
k = A \exp\Bigl(-\frac{E_a}{R T}\Bigr).

Resposta

A lei de Arrhenius é
k = A \exp\!\Bigl(-\tfrac{E_a}{R\,T}\Bigr),
e sua origem estatística está na fração de moléculas com energia na cauda da distribuição de Maxwell–Boltzmann que supera a barreira de ativação E_a.

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