Explique quando os métodos da Bissecpio, Newton e Secante falham. Em quais condiçòs algebricamente graficamente. (2,0 pontos)

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Explicar quando os métodos da Bissecção, Newton e Secante falham.
  • Fazer essa explicação em termos algébricos (condições matemáticas) e gráficos (o que acontece no desenho da função).
Informações dadas / objetos a tratar:
  • Três métodos numéricos: Bissecção, Newton e Secante.
  • Para cada método devo indicar: requisitos para funcionar, condições algébricas de falha (quando alguma expressão fica inválida ou hipóteses não são satisfeitas) e descrição gráfica do porquê da falha.
  • Não há números específicos; a resposta deve ser genérica e com exemplos ilustrativos.

Passo 2

Bissecção — lembrando o método e sua hipótese essencial:
  • Regra do método: partimos de um intervalo [a,b] com f(a) e f(b) de sinais opostos e repetimos cortes ao meio mantendo o subintervalo que preserva a mudança de sinal até a precisão desejada.
  • Hipótese necessária (algébrica): a função f precisa ser contínua em [a,b] e cumprir
f(a)\,f(b) < 0.
Essa desigualdade garante que existe pelo menos uma raiz por Bolzano.

Passo 3

Bissecção — quando e por que falha (algébrico):
  • Se f(a)\,f(b) > 0 não há mudança de sinal e o método não pode ser iniciado (ou seja, não há garantia de raiz no intervalo). Exemplo: f(x)=x^{2} em [-1,1] tem raiz em 0 mas f(-1)=f(1)=1, então f(a)f(b)>0 e o método não se aplica diretamente.
  • Se f não for contínua em [a,b], a conclusão de Bolzano pode falhar e a bissecção pode eliminar intervalos contendo a raiz erroneamente.
  • Situação prática: função com mudança de sinal num intervalo muito pequeno ou ruído numérico pode levar a decisões erradas sobre o sinal.

Passo 4

Bissecção — quando e por que falha (gráfico):
  • Gráfico em que a curva toca o eixo x e volta (raiz de multiplicidade par): não há troca de sinal, portanto visualmente o método não “vê” a raiz porque os valores nas extremidades têm mesmo sinal.
  • Descontinuidade no intervalo: o gráfico pode ter salto que engana a hipótese de existência de raiz por Bolzano.
  • Em resumo: bissecção falha se não houver cruzamento (ou troca de sinal) ou se a continuidade estiver violada.

Passo 5

Newton — lembrando o método e sua hipótese essencial:
  • Fórmula do passo de Newton:
x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.
  • Requisitos básicos: f precisa ser diferenciável (pelo menos localmente) e f'(x_n) não pode ser zero no ponto onde aplicamos a fórmula.

Passo 6

Newton — quando e por que falha (algébrico):
  • Divisão por zero: se em alguma iteração f'(x_n)=0, a fórmula é indefinida.
  • Derivada muito pequena: se f'(x_n) é muito pequeno (mas não exatamente zero) o passo -f/f' pode ser enorme, levando x_{n+1} muito longe e causando divergência.
  • Raiz múltipla: se a raiz r tem multiplicidade m>1 (i.e. f(x)=(x-r)^m g(x) com g(r)\neq0), a convergência de Newton deixa de ser quadrática e torna-se apenas linear; isto é, o método fica muito mais lento ou pode exigir muitas iterações. Exemplo simples (álgebra): para f(x)=(x-1)^2,
f'(x)=2(x-1),\qquad x_{n+1}=x_n-\frac{(x_n-1)^2}{2(x_n-1)}=1+\frac{x_n-1}{2},
logo o erro é reduzido pela metade a cada passo (convergência linear).
  • Função não diferenciável no ponto da raiz ou derivada não contínua: hipótese de Taylor usada na análise de Newton falha e o comportamento pode ser errático.

Passo 7

Newton — exemplo algébrico de divergência:
  • Exemplo clássico onde Newton diverge: f(x)=x^{1/3}. Aqui
f'(x)=\tfrac{1}{3}x^{-2/3},
e a iteração de Newton dá
x_{n+1}=x_n - \frac{x_n^{1/3}}{\tfrac{1}{3}x_n^{-2/3}}=x_n-3x_n=-2x_n.
Isto gera uma sequência x_{n+1}=-2x_n que diverge (módulo cresce, alterna de sinal) para qualquer x_0\neq0. O problema algébrico aqui é derivada singular (explodindo) em 0.

Passo 8

Newton — quando e por que falha (gráfico):
  • Gráfico com tangente horizontal em x_n (ou muito plana): a reta tangente pode cortar o eixo x muito longe do ponto atual ou ser praticamente paralela (divisão por zero ou passo enorme).
  • Visualmente: se o ponto inicial estiver longe de r ou estiver em região com curvatura/inflação da derivada, a reta tangente pode “sair” do intervalo de interesse e levar a iterações que divergem ou caem em ciclos.
  • Conclusão gráfica: tangentes horizontais, pontos de inflexão próximos ou regiões onde a curva é muito “plana” são perigosas.

Passo 9

Secante — lembrando o método e sua hipótese essencial:
  • Fórmula do passo de secante (duas últimas aproximações x_{n-1},x_n):
x_{n+1} = x_n - f(x_n)\,\frac{x_n-x_{n-1}}{f(x_n)-f(x_{n-1})}.
  • Requisito prático: denominador f(x_n)-f(x_{n-1}) não pode ser zero. O método não exige cálculo explícito de f' (é uma aproximação por diferença).

Passo 10

Secante — quando e por que falha (algébrico):
  • Divisão por zero: se f(x_n)=f(x_{n-1}) o denominador é zero e o passo é indefinido. Exemplo simples: f(x)=x^2 com x_0=1 e x_1=-1 f(x_0)=f(x_1)=1.
  • Denominador muito pequeno: se f(x_n) e f(x_{n-1}) são quase iguais, a fração pode ser enorme e o método dá um salto grande (instabilidade).
  • Falta de garantia de convergência: secante não garante convergência global nem mantém um “bracket” da raiz; pode convergir para raiz diferente ou divergir.
  • Múltiplas raízes também prejudicam a taxa de convergência (similar ao caso de Newton).

Passo 11

Secante — quando e por que falha (gráfico):
  • Geometricamente, a secante é a reta que une dois pontos (x_{n-1},f(x_{n-1})) e (x_n,f(x_n)). Se essa reta é quase horizontal (pontos com mesma altura), o corte com o eixo x fica muito distante ou não está bem definido numericamente.
  • Se os pontos escolhidos estiverem em regiões da curva que fazem a secante “apontar” para uma parte errada da linha, o próximo ponto pode ficar bem longe e a iteração perde controle.

Passo 12

Resumo prático (dicas para a prova / aplicação):
  • Bissecção: é o mais robusto; falha quando não há bracketing ( f(a)f(b)\ge0) ou quando f não é contínua. Use quando tiver certeza do intervalo com mudança de sinal.
  • Newton: muito rápido quando funciona (convergência quadrática), mas exige f' e um bom chute inicial; falha se f'(x_n)=0, se f' for muito pequena, se f não for diferenciável ou para raízes múltiplas (perde ordem). Exemplo divergente: f(x)=x^{1/3}.
  • Secante: aproxima f' por diferença; útil quando f' não está disponível, mas pode falhar por denominador zero/pequeno, falta de garantia de convergência e sensibilidade aos chutes iniciais.

Resposta

Bissecção: falha quando f não é contínua em [a,b] ou quando não existe mudança de sinal, isto é, quando f(a)\,f(b)\ge0 (por exemplo f(x)=x^{2} em [-1,1]).\n
Newton: falha se em alguma iteração f'(x_n)=0 (divisão por zero), ou se f'(x_n) é muito pequeno (passo enorme) ou f não é diferenciável; raízes múltiplas (multiplicidade m>1) reduzem a ordem de convergência (ex.: f(x)=(x-1)^2). Exemplo de divergência: f(x)=x^{1/3} produz x_{n+1}=-2x_n.\n
Secante: falha quando f(x_n)=f(x_{n-1}) (denominador zero) ou quando o denominador é muito pequeno (salto instável); não garante bracketing nem convergência global e é sensível às escolhas iniciais (ex.: f(x)=x^{2} com pontos iniciais que dão mesma imagem).

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