Explique quando os métodos da Bissecpio, Newton e Secante falham. Em quais condiçòs algebricamente graficamente. (2,0 pontos)
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Explicar quando os métodos da Bissecção, Newton e Secante falham.
- Fazer essa explicação em termos algébricos (condições matemáticas) e gráficos (o que acontece no desenho da função).
Informações dadas / objetos a tratar:
- Três métodos numéricos: Bissecção, Newton e Secante.
- Para cada método devo indicar: requisitos para funcionar, condições algébricas de falha (quando alguma expressão fica inválida ou hipóteses não são satisfeitas) e descrição gráfica do porquê da falha.
- Não há números específicos; a resposta deve ser genérica e com exemplos ilustrativos.
Passo 2
Bissecção — lembrando o método e sua hipótese essencial:
- Regra do método: partimos de um intervalo
com e de sinais opostos e repetimos cortes ao meio mantendo o subintervalo que preserva a mudança de sinal até a precisão desejada. - Hipótese necessária (algébrica): a função
precisa ser contínua em e cumprir
Essa desigualdade garante que existe pelo menos uma raiz por Bolzano.
Passo 3
Bissecção — quando e por que falha (algébrico):
- Se
não há mudança de sinal e o método não pode ser iniciado (ou seja, não há garantia de raiz no intervalo). Exemplo: em tem raiz em mas , então e o método não se aplica diretamente. - Se
não for contínua em , a conclusão de Bolzano pode falhar e a bissecção pode eliminar intervalos contendo a raiz erroneamente. - Situação prática: função com mudança de sinal num intervalo muito pequeno ou ruído numérico pode levar a decisões erradas sobre o sinal.
Passo 4
Bissecção — quando e por que falha (gráfico):
- Gráfico em que a curva toca o eixo
e volta (raiz de multiplicidade par): não há troca de sinal, portanto visualmente o método não “vê” a raiz porque os valores nas extremidades têm mesmo sinal. - Descontinuidade no intervalo: o gráfico pode ter salto que engana a hipótese de existência de raiz por Bolzano.
- Em resumo: bissecção falha se não houver cruzamento (ou troca de sinal) ou se a continuidade estiver violada.
Passo 5
Newton — lembrando o método e sua hipótese essencial:
- Fórmula do passo de Newton:
- Requisitos básicos:
precisa ser diferenciável (pelo menos localmente) e não pode ser zero no ponto onde aplicamos a fórmula.
Passo 6
Newton — quando e por que falha (algébrico):
- Divisão por zero: se em alguma iteração
, a fórmula é indefinida. - Derivada muito pequena: se
é muito pequeno (mas não exatamente zero) o passo pode ser enorme, levando muito longe e causando divergência. - Raiz múltipla: se a raiz
tem multiplicidade (i.e. com ), a convergência de Newton deixa de ser quadrática e torna-se apenas linear; isto é, o método fica muito mais lento ou pode exigir muitas iterações. Exemplo simples (álgebra): para ,
logo o erro é reduzido pela metade a cada passo (convergência linear).
- Função não diferenciável no ponto da raiz ou derivada não contínua: hipótese de Taylor usada na análise de Newton falha e o comportamento pode ser errático.
Passo 7
Newton — exemplo algébrico de divergência:
- Exemplo clássico onde Newton diverge:
. Aqui
e a iteração de Newton dá
Isto gera uma sequência
que diverge (módulo cresce, alterna de sinal) para qualquer
. O problema algébrico aqui é derivada singular (explodindo) em
.
Passo 8
Newton — quando e por que falha (gráfico):
- Gráfico com tangente horizontal em
(ou muito plana): a reta tangente pode cortar o eixo muito longe do ponto atual ou ser praticamente paralela (divisão por zero ou passo enorme). - Visualmente: se o ponto inicial estiver longe de
ou estiver em região com curvatura/inflação da derivada, a reta tangente pode “sair” do intervalo de interesse e levar a iterações que divergem ou caem em ciclos. - Conclusão gráfica: tangentes horizontais, pontos de inflexão próximos ou regiões onde a curva é muito “plana” são perigosas.
Passo 9
Secante — lembrando o método e sua hipótese essencial:
- Fórmula do passo de secante (duas últimas aproximações
):
- Requisito prático: denominador
não pode ser zero. O método não exige cálculo explícito de (é uma aproximação por diferença).
Passo 10
Secante — quando e por que falha (algébrico):
- Divisão por zero: se
o denominador é zero e o passo é indefinido. Exemplo simples: com e dá . - Denominador muito pequeno: se
e são quase iguais, a fração pode ser enorme e o método dá um salto grande (instabilidade). - Falta de garantia de convergência: secante não garante convergência global nem mantém um “bracket” da raiz; pode convergir para raiz diferente ou divergir.
- Múltiplas raízes também prejudicam a taxa de convergência (similar ao caso de Newton).
Passo 11
Secante — quando e por que falha (gráfico):
- Geometricamente, a secante é a reta que une dois pontos
e . Se essa reta é quase horizontal (pontos com mesma altura), o corte com o eixo fica muito distante ou não está bem definido numericamente. - Se os pontos escolhidos estiverem em regiões da curva que fazem a secante “apontar” para uma parte errada da linha, o próximo ponto pode ficar bem longe e a iteração perde controle.
Passo 12
Resumo prático (dicas para a prova / aplicação):
- Bissecção: é o mais robusto; falha quando não há bracketing (
) ou quando não é contínua. Use quando tiver certeza do intervalo com mudança de sinal. - Newton: muito rápido quando funciona (convergência quadrática), mas exige
e um bom chute inicial; falha se , se for muito pequena, se não for diferenciável ou para raízes múltiplas (perde ordem). Exemplo divergente: . - Secante: aproxima
por diferença; útil quando não está disponível, mas pode falhar por denominador zero/pequeno, falta de garantia de convergência e sensibilidade aos chutes iniciais.
Resposta
Bissecção: falha quando
não é contínua em
ou quando não existe mudança de sinal, isto é, quando
(por exemplo
em
).\n
Newton: falha se em alguma iteração (divisão por zero), ou se
é muito pequeno (passo enorme) ou
não é diferenciável; raízes múltiplas (multiplicidade
) reduzem a ordem de convergência (ex.:
). Exemplo de divergência:
produz
.\n
Secante: falha quando (denominador zero) ou quando o denominador é muito pequeno (salto instável); não garante bracketing nem convergência global e é sensível às escolhas iniciais (ex.:
com pontos iniciais que dão mesma imagem).
Newton: falha se em alguma iteração
Secante: falha quando