Determine os polinômios de Taylor de grau 1 e grau 2 da funçào
em tomo de
. (2,0 pontos)
Passo 1
O enunciado pede que se determine os polinômios de Taylor de grau 1 e de grau 2 da função
em torno de
.
Informações dadas e o que se pede:
- Função:
. - Ponto de expansão (centro):
. - Pedidos: o polinômio de Taylor de grau 1 centrado em
e o polinômio de Taylor de grau 2 centrado em .
Passo 2
Vamos lembrar a fórmula geral do polinômio de Taylor de grau
de uma função
em torno de
:
Explicando cada símbolo:
-
é a -ésima derivada de avaliada em . Para entende-se . -
é o fatorial de (por exemplo, , ). -
é o termo de ordem em torno de .
Para construire vamos precisar de , e . Então calculamos as derivadas até a segunda ordem e as avaliamos em .
Passo 3
Calcular derivadas de
e avaliá-las em
.
- Valor da função no ponto:
- Primeira derivada: é conhecida a regra
. Logo
Avaliação em
:
- Segunda derivada: derivando
usando a regra da potência :
Avaliação em
:
Agora temos os valores necessários:
,
,
.
Passo 4
Construir os polinômios usando a fórmula de Taylor.
Para o grau
(
):
Para o grau
(
):
Substituindo os valores:
Passo 5
Interpretação breve e dica de prova:
-
é a aproximação linear (reta tangente) de em . -
é a aproximação quadrática, que normalmente é muito melhor perto de . - Se precisar justificar erro em prova, pode citar o resto de Lagrange: existe
entre e tal que
e basta estimar
para controlar o erro.
Força aí — você já tem as fórmulas prontas para aplicar na prova!