Determine os polinômios de Taylor de grau 1 e grau 2 da funçào f(x)=\ln (x) em tomo de x=1. (2,0 pontos)

Passo 1

O enunciado pede que se determine os polinômios de Taylor de grau 1 e de grau 2 da função f(x)=\ln(x) em torno de x=1.
Informações dadas e o que se pede:
  • Função: f(x)=\ln(x).
  • Ponto de expansão (centro): a=1.
  • Pedidos: o polinômio de Taylor de grau 1 centrado em a=1 e o polinômio de Taylor de grau 2 centrado em a=1.

Passo 2

Vamos lembrar a fórmula geral do polinômio de Taylor de grau n de uma função f em torno de a:
T_n(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k.
Explicando cada símbolo:
  • f^{(k)}(a) é a k-ésima derivada de f avaliada em x=a. Para k=0 entende-se f^{(0)}(a)=f(a).
  • k! é o fatorial de k (por exemplo, 2!=2, 0!=1).
  • (x-a)^k é o termo de ordem k em torno de a.
    Para construir T_1 e T_2 vamos precisar de f(a), f'(a) e f''(a). Então calculamos as derivadas até a segunda ordem e as avaliamos em a=1.

Passo 3

Calcular derivadas de f(x)=\ln(x) e avaliá-las em x=1.
  1. Valor da função no ponto:
f(1)=\ln(1)=0.
  1. Primeira derivada: é conhecida a regra \dfrac{d}{dx}\ln(x)=\dfrac{1}{x}. Logo
f'(x)=\frac{1}{x}.
Avaliação em 1:
f'(1)=\frac{1}{1}=1.
  1. Segunda derivada: derivando f'(x)=x^{-1} usando a regra da potência \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}:
f''(x)=\frac{d}{dx}x^{-1}=-1\cdot x^{-2}=-\frac{1}{x^{2}}.
Avaliação em 1:
f''(1)=-\frac{1}{1^{2}}=-1.
Agora temos os valores necessários: f(1)=0, f'(1)=1, f''(1)=-1.

Passo 4

Construir os polinômios usando a fórmula de Taylor.
Para o grau 1 ( n=1):
T_1(x)=f(1)+f'(1)(x-1)=0+1\cdot(x-1)=x-1.
Para o grau 2 ( n=2):
T_2(x)=f(1)+f'(1)(x-1)+\frac{f''(1)}{2!}(x-1)^2
Substituindo os valores:
T_2(x)=0+1\cdot(x-1)+\frac{-1}{2}(x-1)^2=(x-1)-\frac{1}{2}(x-1)^2.

Passo 5

Interpretação breve e dica de prova:
  • T_1(x)=x-1 é a aproximação linear (reta tangente) de \ln(x) em x=1.
  • T_2(x)=(x-1)-\dfrac{1}{2}(x-1)^2 é a aproximação quadrática, que normalmente é muito melhor perto de x=1.
  • Se precisar justificar erro em prova, pode citar o resto de Lagrange: existe \xi entre x e 1 tal que
R_2(x)=\frac{f^{(3)}(\xi)}{3!}(x-1)^3,
e basta estimar f^{(3)}(x) para controlar o erro.
Força aí — você já tem as fórmulas prontas para aplicar na prova!

Resposta

T_1(x)=x-1
T_2(x)=(x-1)-\dfrac{1}{2}(x-1)^2

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