Utilizando o método de Newton. Calcule 4 iteraçòes (cas.o o método nảo falhe) para obtençio da niż da funçio
com
(2,0 pontos)
OBS:
Ile.
1
4
2
3
4
OBS:
| Ile. |
|
|
|
| 1 | 4 | ||
| 2 | |||
| 3 | |||
| 4 |
Passo 1
O enunciado pede: calcular 4 iterações do método de Newton para aproximar uma raiz da função dada, usando
. As informações que temos são:
- A função é
. - A fórmula do método de Newton fornecida é
- O chute inicial (iteracao zero) é
.
O objetivo é aplicar a fórmula acima sucessivamente para obter. (A resolução detalhada começa no Passo 2.)
Passo 2
Explicando o método de Newton de forma simples e concreta:
- Ideia: a cada iteração usamos a reta tangente à curva
no ponto e tomamos a interseção dessa reta com o eixo como nova aproximação . Isso costuma convergir rapidamente para uma raiz quando o chute inicial não é muito ruim. - Fórmula (já dada): em cada passo
Aqui:
-
é a aproximação atual; -
é o valor da função nessa aproximação; -
é a derivada (inclinação da tangente) nesse ponto; - A razão
é o deslocamento sugerido pela tangente. - Para aplicar, precisamos da derivada de
. Calculamos:
Então em cada iteração vamos avaliar
e
em
e usar a fórmula.
Passo 3
Primeira iteração (partindo de
) — calcular
,
e
.
Aplicando a fórmula de Newton:
Aproximação decimal:
(vou escrever com vírgula onde aparecer decimal:
).
Passo 4
Segunda iteração — calcular
,
e
onde
.
Agora
Colocando sobre o mesmo denominador:
Aproximação decimal:
(ou
).
Passo 5
Terceira iteração — calcular
,
e
onde
.
Aplicando Newton:
Simplificando o produto:
Então
Colocando sobre denominador comum
:
Aproximação decimal:
(ou
).
Passo 6
Quarta iteração — calcular
,
e
onde
.
Para subtrair, colocamos tudo sobre
(pois
):
portanto
A derivada:
Agora a iteração:
Observe que
, então
Simplificando por 2:
Mas
. Então esse termo é
. Assim
Colocando sobre denominador comum
(já que
):
logo
Notar que
e
, mas não é necessário reduzir mais. Aproximação decimal: