Utilizando o método de Newton. Calcule 4 iteraçòes (cas.o o método nảo falhe) para obtençio da niż da funçio
f(x)=x^{2}-2 x com x_{0}=4 (2,0 pontos)
OBS: x_{k+1}=x_{k}-\frac{f\left(x_{k}\right)}{f^{\prime}\left(x_{k}\right)}
Ile. x_{b l} f\left(x_{i}\right) f^{\prime}\left(x_{i}\right)
1 4
2
3
4

Passo 1

O enunciado pede: calcular 4 iterações do método de Newton para aproximar uma raiz da função dada, usando x_{0}=4. As informações que temos são:
  • A função é \displaystyle f(x)=x^{2}-2x.
  • A fórmula do método de Newton fornecida é
x_{k+1}=x_{k}-\frac{f\left(x_{k}\right)}{f'\left(x_{k}\right)}.
  • O chute inicial (iteracao zero) é \displaystyle x_{0}=4.
    O objetivo é aplicar a fórmula acima sucessivamente para obter \displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}. (A resolução detalhada começa no Passo 2.)

Passo 2

Explicando o método de Newton de forma simples e concreta:
  • Ideia: a cada iteração usamos a reta tangente à curva f no ponto (x_k,f(x_k)) e tomamos a interseção dessa reta com o eixo x como nova aproximação x_{k+1}. Isso costuma convergir rapidamente para uma raiz quando o chute inicial não é muito ruim.
  • Fórmula (já dada): em cada passo
x_{k+1}=x_{k}-\frac{f(x_k)}{f'(x_k)}.
Aqui:
  • x_k é a aproximação atual;
  • f(x_k) é o valor da função nessa aproximação;
  • f'(x_k) é a derivada (inclinação da tangente) nesse ponto;
  • A razão \dfrac{f(x_k)}{f'(x_k)} é o deslocamento sugerido pela tangente.
  • Para aplicar, precisamos da derivada de f. Calculamos:
f(x)=x^{2}-2x \quad\Rightarrow\quad f'(x)=2x-2.
Então em cada iteração vamos avaliar f e f' em x_k e usar a fórmula.

Passo 3

Primeira iteração (partindo de \,x_{0}=4) — calcular f(x_{0}), f'(x_{0}) e x_{1}.
f(4)=4^{2}-2\cdot4=16-8=8.
f'(4)=2\cdot4-2=8-2=6.
Aplicando a fórmula de Newton:
x_{1}=4-\frac{8}{6}=4-\frac{4}{3}=\frac{8}{3}.
Aproximação decimal: \displaystyle x_{1}=\frac{8}{3}\approx 2,666666\ldots (vou escrever com vírgula onde aparecer decimal: 2,666\ldots).

Passo 4

Segunda iteração — calcular f(x_{1}), f'(x_{1}) e x_{2} onde x_{1}=\dfrac{8}{3}.
f\!\left(\frac{8}{3}\right)=\left(\frac{8}{3}\right)^{2}-2\cdot\frac{8}{3}=\frac{64}{9}-\frac{16}{3}=\frac{64}{9}-\frac{48}{9}=\frac{16}{9}.
f'\!\left(\frac{8}{3}\right)=2\cdot\frac{8}{3}-2=\frac{16}{3}-2=\frac{16}{3}-\frac{6}{3}=\frac{10}{3}.
Agora
x_{2}=\frac{8}{3}-\frac{\tfrac{16}{9}}{\tfrac{10}{3}} =\frac{8}{3}-\frac{16}{9}\cdot\frac{3}{10} =\frac{8}{3}-\frac{48}{90} =\frac{8}{3}-\frac{8}{15}.
Colocando sobre o mesmo denominador:
\frac{8}{3}=\frac{40}{15}\quad\Rightarrow\quad x_{2}=\frac{40}{15}-\frac{8}{15}=\frac{32}{15}.
Aproximação decimal: \displaystyle x_{2}=\frac{32}{15}\approx 2,133333\ldots (ou 2,1333\ldots).

Passo 5

Terceira iteração — calcular f(x_{2}), f'(x_{2}) e x_{3} onde x_{2}=\dfrac{32}{15}.
f\!\left(\frac{32}{15}\right)=\left(\frac{32}{15}\right)^{2}-2\cdot\frac{32}{15} =\frac{1024}{225}-\frac{64}{15} =\frac{1024}{225}-\frac{960}{225} =\frac{64}{225}.
f'\!\left(\frac{32}{15}\right)=2\cdot\frac{32}{15}-2=\frac{64}{15}-2=\frac{64}{15}-\frac{30}{15}=\frac{34}{15}.
Aplicando Newton:
x_{3}=\frac{32}{15}-\frac{\tfrac{64}{225}}{\tfrac{34}{15}} =\frac{32}{15}-\frac{64}{225}\cdot\frac{15}{34}.
Simplificando o produto:
\frac{64}{225}\cdot\frac{15}{34}=\frac{64}{15\cdot15}\cdot\frac{15}{34}=\frac{64}{15\cdot34}=\frac{32}{255}.
Então
x_{3}=\frac{32}{15}-\frac{32}{255}.
Colocando sobre denominador comum 255:
\frac{32}{15}=\frac{32\cdot17}{255}=\frac{544}{255}\quad\Rightarrow\quad x_{3}=\frac{544}{255}-\frac{32}{255}=\frac{512}{255}.
Aproximação decimal: \displaystyle x_{3}=\frac{512}{255}\approx 2,007843137 (ou 2,007843\ldots).

Passo 6

Quarta iteração — calcular f(x_{3}), f'(x_{3}) e x_{4} onde x_{3}=\dfrac{512}{255}.
f\!\left(\frac{512}{255}\right)=\left(\frac{512}{255}\right)^{2}-2\cdot\frac{512}{255} =\frac{262144}{65025}-\frac{1024}{255}.
Para subtrair, colocamos tudo sobre 65025 (pois 65025=255^{2}):
\frac{1024}{255}=\frac{1024\cdot255}{255^{2}}=\frac{261120}{65025},
portanto
f\!\left(\frac{512}{255}\right)=\frac{262144-261120}{65025}=\frac{1024}{65025}.
A derivada:
f'\!\left(\frac{512}{255}\right)=2\cdot\frac{512}{255}-2=\frac{1024}{255}-2=\frac{1024-510}{255}=\frac{514}{255}.
Agora a iteração:
x_{4}=\frac{512}{255}-\frac{\tfrac{1024}{65025}}{\tfrac{514}{255}} =\frac{512}{255}-\frac{1024}{65025}\cdot\frac{255}{514}.
Observe que 65025=255^{2}, então
\frac{1024}{65025}\cdot\frac{255}{514}=\frac{1024}{255^{2}}\cdot\frac{255}{514}=\frac{1024}{255\cdot514}.
Simplificando por 2:
\frac{1024}{255\cdot514}=\frac{512}{255\cdot257}.
Mas 255\cdot257=65535. Então esse termo é \dfrac{512}{65535}. Assim
x_{4}=\frac{512}{255}-\frac{512}{65535}.
Colocando sobre denominador comum 65535 (já que 65535=255\cdot257):
\frac{512}{255}=\frac{512\cdot257}{65535}=\frac{131584}{65535},
logo
x_{4}=\frac{131584}{65535}-\frac{512}{65535}=\frac{131072}{65535}.
Notar que 131072=2^{17} e 65535=2^{16}-1, mas não é necessário reduzir mais. Aproximação decimal:
\displaystyle x_{4}=\frac{131072}{65535}\approx 2,000030517\ldots

Resposta

\displaystyle x_{1}=\frac{8}{3}\approx 2,666666\ldots
\displaystyle x_{2}=\frac{32}{15}\approx 2,133333\ldots
\displaystyle x_{3}=\frac{512}{255}\approx 2,007843137\ldots
\displaystyle x_{4}=\frac{131072}{65535}\approx 2,000030517\ldots

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