Explique por que S não é uma base de P_{2} : S=\left\{1-x, 1-x^{2},-1-2 x+3 x^{2}\right\}
Passo 1
O enunciado pede para mostrar por que S não é uma base do espaço P_{2}. Os dados do enunciado são os três polinômios:
S=\{\,1-x,\;1-x^{2},\;-1-2x+3x^{2}\,\}.
O objetivo final é concluir por que esse conjunto não é uma base de P_{2}.
Passo 2
Lembrete do que precisamos verificar (apenas para organizar a solução; a definição será usada nos passos seguintes):
Uma base de P_{2} (espaço dos polinômios de grau \le 2) deve conter exatamente 3 vetores e ser linearmente independente (ou equivalentemente, gerar todo P_{2}).
Aqui o conjunto S tem 3 elementos, então para ser base basta que eles sejam linearmente independentes. Vou testar a independência linear.
Passo 3
Definição prática de dependência linear que vamos usar: os vetores (polinômios) p_{1},p_{2},p_{3} são linearmente dependentes se existem escalares a,b,c, não todos nulos, tais que
a p_{1}+b p_{2}+c p_{3}=0,
onde 0 é o polinômio zero (ou seja, o polinômio cujos coeficientes são todos zero). Aqui tomamos p_{1}=1-x, p_{2}=1-x^{2}, p_{3}=-1-2x+3x^{2}. Vou procurar a,b,c não todos nulos que satisfazem essa igualdade.
Passo 4
Escrevo a combinação linear e a expando:
a(1-x)+b(1-x^{2})+c(-1-2x+3x^{2})=0.
Agora desenvolvo os produtos e somo termos semelhantes (constantes, coeficiente de x, coeficiente de x^{2}):
a - a x + b - b x^{2} - c -2c x +3c x^{2}=0.
Agrupando por potências de x:
\underbrace{(a+b-c)}_{\text{constante}} \;+\; \underbrace{(-a-2c)}_{\text{coef. de }x}\,x \;+\; \underbrace{(-b+3c)}_{\text{coef. de }x^{2}}\,x^{2}=0.
Passo 5
Como o polinômio à esquerda deve ser o polinômio zero, os coeficientes de 1, x e x^{2} devem ser zero. Isso gera o sistema linear em a,b,c:
A primeira equação fica 0=0, ou seja, é satisfeita para qualquer valor de c. Logo o sistema tem infinitas soluções paramétricas com parâmetro c. Em particular, podemos escolher c=1 para obter uma solução não trivial:
a=-2,\qquad b=3,\qquad c=1.
Passo 7
Verificação explícita da dependência com esses coeficientes: calculo
Portanto a combinação não trivial encontrada resulta exatamente no polinômio zero, o que prova que os elementos de S são linearmente dependentes.
Passo 8
Conclusão lógica: como S tem três elementos (o número necessário para formar uma base de P_{2}) mas esses elementos são linearmente dependentes, S não é uma base de P_{2}. Em termos práticos, falta independência linear, então S não gera uma base.
Resposta
S não é base de P_{2}, pois é linearmente dependente. Uma relação de dependência é