Explique por que S não é uma base de P_{2} :
S=\left\{1+x^{2}, 1-x^{2}\right\}

Passo 1

O enunciado pede que se explique por que S não é uma base do espaço vetorial P_{2}. As informações fornecidas são:
  • O conjunto S é \left\{\,1+x^{2},\;1-x^{2}\,\right\}.
  • P_{2} é o espaço dos polinômios com grau menor ou igual a 2 (ou seja, polinômios da forma a+bx+cx^{2} com a,b,c\in\mathbb{R}).
    A tarefa é mostrar por que o conjunto S não satisfaz as condições necessárias para ser uma base de P_{2}.

Passo 2

Lembraremos o que significa ser uma base (isso é importante para a prova).
  • Um conjunto de vetores é base de um espaço vetorial se e somente se:
    1. os vetores são linearmente independentes; e
    2. os vetores geram (ou span) todo o espaço, isto é, qualquer vetor do espaço pode ser escrito como combinação linear desses vetores.
      Vou usar essas duas características para analisar S. Também vou explicar cada conceito rapidamente:
  • Linearmente independentes significa que, se uma combinação linear dos vetores dá o polinômio nulo, então todos os coeficientes da combinação devem ser zero.
  • Gerar o espaço significa que, dado qualquer polinômio p(x)\in P_{2}, existem coeficientes que façam uma combinação linear dos vetores de S igualar p(x).

Passo 3

Teste de independência linear para S\). Procuro constantes \(\alpha,\beta\in\mathbb{R}\) tais que \[\alpha(1+x^{2})+\beta(1-x^{2})=0
(o polinômio nulo, que tem todos coeficientes zero). Expandindo a soma:
(\alpha+\beta) + (\alpha-\beta)x^{2} = 0.
Um polinômio é identicamente zero se e somente se todos os seus coeficientes são zero. Igualando coeficientes obtemos o sistema
\begin{cases} \alpha+\beta=0,\\[4pt] \alpha-\beta=0. \end{cases}
Somando as duas equações dá 2\alpha=0\] então \(\alpha=0; substituindo \alpha=0 na primeira equação obtém-se \beta=0. Logo a única solução é \alpha=\beta=0. Portanto os dois vetores de S são linearmente independentes.]

Passo 4

Dimensão de P_{2} e implicação para bases.
O espaço P_{2} tem dimensão 3. Uma base padrão é por exemplo \{\,1,\;x,\;x^{2}\,\}, que contém exatamente 3 vetores. Por definição de dimensão, qualquer base de P_{2} deve ter exatamente 3 vetores. Assim, qualquer conjunto com menos de 3 vetores não pode ser uma base de P_{2}, porque mesmo que seus vetores sejam linearmente independentes, eles não podem gerar todo o espaço (faltam “graus de liberdade”).

Passo 5

Aplicando isso a S.
O conjunto S tem apenas 2 vetores, enquanto \dim(P_{2})=3. Já vimos que os vetores de S são linearmente independentes, mas por terem cardinalidade menor que a dimensão não podem gerar todo P_{2}. Em termos simples: há polinômios em P_{2} que não podem ser obtidos como combinação linear de 1+x^{2} e 1-x^{2}.

Passo 6

Exemplo explícito de um polinômio que não está no span de S.
Tente representar o polinômio x como combinação linear:
\alpha(1+x^{2})+\beta(1-x^{2})=x.
Como no passo 3 a combinação sempre produz apenas termos constantes e termos em x^{2}, o lado esquerdo não tem termo em x. Comparando coeficientes no polinômio resultante, o coeficiente de x no lado direito é 1, enquanto no lado esquerdo é 0. Isso é impossível, logo não existem \alpha,\beta que satisfaçam a igualdade. Portanto x\notin\operatorname{span}(S), e S não gera P_{2}.

Passo 7

Conclusão final (resumo didático).
  • S é linearmente independente, mas |S|=2 enquanto \dim(P_{2})=3.
  • Como uma base de P_{2} precisa ter 3 vetores (ou equivalentemente gerar todo o espaço), S não pode ser base.
  • De forma concreta, o polinômio x não está no span de S, confirmando que S não gera P_{2}.

Resposta

S não é base de P_{2} porque |S|=2 enquanto \dim(P_{2})=3; assim S não gera P_{2} (por exemplo, x\notin\operatorname{span}(S)).

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