Explique por que
não é uma base de
:
Passo 1
O enunciado pede que se explique por que
não é uma base do espaço vetorial
. As informações fornecidas são:
- O conjunto
é . -
é o espaço dos polinômios com grau menor ou igual a (ou seja, polinômios da forma com ).
A tarefa é mostrar por que o conjuntonão satisfaz as condições necessárias para ser uma base de .
Passo 2
Lembraremos o que significa ser uma base (isso é importante para a prova).
- Um conjunto de vetores é base de um espaço vetorial se e somente se:
- os vetores são linearmente independentes; e
- os vetores geram (ou span) todo o espaço, isto é, qualquer vetor do espaço pode ser escrito como combinação linear desses vetores.
Vou usar essas duas características para analisar. Também vou explicar cada conceito rapidamente:
- Linearmente independentes significa que, se uma combinação linear dos vetores dá o polinômio nulo, então todos os coeficientes da combinação devem ser zero.
- Gerar o espaço significa que, dado qualquer polinômio
, existem coeficientes que façam uma combinação linear dos vetores de igualar .
Passo 3
Teste de independência linear para
(o polinômio nulo, que tem todos coeficientes zero). Expandindo a soma:
Um polinômio é identicamente zero se e somente se todos os seus coeficientes são zero. Igualando coeficientes obtemos o sistema
Somando as duas equações dá
; substituindo
na primeira equação obtém-se
. Logo a única solução é
. Portanto os dois vetores de
são linearmente independentes.]
Passo 4
Dimensão de
e implicação para bases.
O espaço tem dimensão
. Uma base padrão é por exemplo
, que contém exatamente 3 vetores. Por definição de dimensão, qualquer base de
deve ter exatamente 3 vetores. Assim, qualquer conjunto com menos de 3 vetores não pode ser uma base de
, porque mesmo que seus vetores sejam linearmente independentes, eles não podem gerar todo o espaço (faltam “graus de liberdade”).
O espaço
Passo 5
Aplicando isso a
.
O conjunto tem apenas 2 vetores, enquanto
. Já vimos que os vetores de
são linearmente independentes, mas por terem cardinalidade menor que a dimensão não podem gerar todo
. Em termos simples: há polinômios em
que não podem ser obtidos como combinação linear de
e
.
O conjunto
Passo 6
Exemplo explícito de um polinômio que não está no span de
.
Tente representar o polinômio como combinação linear:
Tente representar o polinômio
Como no passo 3 a combinação sempre produz apenas termos constantes e termos em
, o lado esquerdo não tem termo em
. Comparando coeficientes no polinômio resultante, o coeficiente de
no lado direito é
, enquanto no lado esquerdo é
. Isso é impossível, logo não existem
que satisfaçam a igualdade. Portanto
, e
não gera
.
Passo 7
Conclusão final (resumo didático).
-
é linearmente independente, mas enquanto . - Como uma base de
precisa ter 3 vetores (ou equivalentemente gerar todo o espaço), não pode ser base. - De forma concreta, o polinômio
não está no span de , confirmando que não gera .