Explique por que
para cada uma das seguintes funções, sendo
um contorno fechado simples qualquer no plano complexo.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a integral de linha fechada
vale zero, onde
e
é um contorno fechado simples qualquer. O conteúdo principal aqui é o Teorema de Cauchy para funções analíticas.
Passo 2
Repare que
é uma composição de polinômios em
. Como polinômios são diferenciáveis em todo o plano complexo, concluímos que
é uma função inteira (ou seja, analítica em
).
Passo 3
O Teorema de Cauchy nos diz que, se
é analítica em uma região simplesmente conexa que contém o contorno fechado
e seu interior, então
Passo 4
Como
é inteira, seu domínio é todo o plano (que é simplesmente conexo), logo podemos aplicar o Teorema de Cauchy e obter zero para qualquer contorno fechado.
Resposta
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