Explique por que ointC f(z) d z=0 para cada uma das seguintes funções, sendo C um contorno fechado simples qualquer no plano complexo.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a integral de linha fechada ointC f(z),dz vale zero, onde f(z)=(5iz^4-4z^2+2-6i)^9 e C é um contorno fechado simples qualquer. O conteúdo principal aqui é o Teorema de Cauchy para funções analíticas.

Passo 2

Repare que f(z)=(5iz^4-4z^2+2-6i)^9 é uma composição de polinômios em z. Como polinômios são diferenciáveis em todo o plano complexo, concluímos que f é uma função inteira (ou seja, analítica em C).

Passo 3

O Teorema de Cauchy nos diz que, se f é analítica em uma região simplesmente conexa que contém o contorno fechado C e seu interior, então
ointC f(z),dz = 0

Passo 4

Como f é inteira, seu domínio é todo o plano (que é simplesmente conexo), logo podemos aplicar o Teorema de Cauchy e obter zero para qualquer contorno fechado.

Resposta

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