Explique por que
para cada uma das seguintes funções, sendo
um contorno fechado simples qualquer no plano complexo.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
para
e qualquer contorno fechado simples
. O conteúdo principal é o Teorema de Cauchy para funções holomorfas; vamos precisar verificar que
é holomorfa em todo o interior de
.
Passo 2
Sabemos que
é uma função inteira (isto é, holomorfa em todo o plano complexo) e que
também é inteira. Além disso,
nunca zera, pois a função exponencial nunca atinge zero.
Como o denominador não se anula, o quociente
é a razão de duas funções inteiras, com denominador não-nulo. Logo,
também é inteira, ou seja, holomorfa em todo o plano.
Como o denominador
Passo 3
Pelo Teorema de Cauchy, se uma função é holomorfa em uma região contendo o interior e a fronteira de um contorno fechado
, então sua integral em torno de
é zero. Como mostramos que
é holomorfa em todo o plano, temos
Resposta
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