Explique por que ointC f(z) d z=0 para cada uma das seguintes funções, sendo C um contorno fechado simples qualquer no plano complexo.
f(z)=sen ze^z^2

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que ointC f(z),dz = 0 para f(z)=sin ze^z^2 e qualquer contorno fechado simples C. O conteúdo principal é o Teorema de Cauchy para funções holomorfas; vamos precisar verificar que f é holomorfa em todo o interior de C.

Passo 2

Sabemos que sin z é uma função inteira (isto é, holomorfa em todo o plano complexo) e que e^z^2 também é inteira. Além disso, e^z^2 nunca zera, pois a função exponencial nunca atinge zero.
Como o denominador e^z^2 não se anula, o quociente f(z)=dfracsin ze^z^2 é a razão de duas funções inteiras, com denominador não-nulo. Logo, f(z) também é inteira, ou seja, holomorfa em todo o plano.

Passo 3

Pelo Teorema de Cauchy, se uma função é holomorfa em uma região contendo o interior e a fronteira de um contorno fechado C, então sua integral em torno de C é zero. Como mostramos que f é holomorfa em todo o plano, temos
ointC f(z),dz = 0

Resposta

0

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