Explique, com suas palavras, os significados de cada uma das equações abaixo e escreva o significado matemático preciso de cada expressão. Em cada caso, dê um exemplo de uma função que satisfaça a condição dada.
\lim _{x \rightarrow-3} f(x)=0

Passo 1

O enunciado dá a afirmação
\lim_{x\to -3} f(x) = 0
e pede que eu explique, com minhas palavras, o significado dessa equação, escreva o significado matemático preciso (a definição formal) e, por fim, apresente um exemplo de função que satisfaça essa condição. Portanto as tarefas são:
  • Explicar em palavras o que quer dizer \lim_{x\to -3} f(x)=0.
  • Escrever a definição formal (epsilon–delta) dessa igualdade.
  • Dar ao menos um exemplo de função cuja limite em x=-3 seja 0 (posso mostrar mais de um caso ilustrativo).

Passo 2

Intuição / explicação em palavras (versão simples e direta).
Dizer que \lim_{x\to -3} f(x)=0 significa que, quando x se aproxima cada vez mais de -3 (por valores maiores ou menores, vindo pela direita ou pela esquerda), os valores de f(x) ficam cada vez mais próximos de 0. Importante: isso fala apenas do comportamento de f(x) quando x está próximo de -3, não diz nada obrigatório sobre o valor f(-3). Ou seja, pode ser que f(-3)=0, pode ser que f(-3) seja outro número, ou pode ser que f nem esteja definida em -3; a afirmação do limite continua verdadeira desde que os valores de f(x) perto de -3 tendam a 0.

Passo 3

Definição formal (epsilon–delta) e explicação dos quantificadores.
A forma precisa dessa afirmação é:
\text{Para todo } \varepsilon>0\\ \text{existe}\\ \delta>0\\ \text{tal que, se }0<|x+3|<\delta,\\ \text{então }|f(x)-0|<\varepsilon.ã
Vou explicar cada parte desta frase:
  • \varepsilon>0 é qualquer tolerância desejada para a distância entre f(x) e 0. Pense em \varepsilon como “quão perto de 0” eu quero que f(x) esteja.
  • Dizer “para todo \varepsilon>0” significa que isso funciona para qualquer nível de proximidade, por pequeno que seja.
  • Para cada \varepsilon existe um \delta>0: isto dá a ligação entre a proximidade em x e a proximidade em f(x). O \delta diz quão perto de -3 eu preciso escolher x para garantir que f(x) esteja dentro da tolerância \varepsilon.
  • A condição 0<|x+3|<\delta significa que consideramos x diferentes de -3 (o 0< exclui o próprio ponto) mas arbitrariamente próximos de -3.
  • A conclusão |f(x)-0|<\varepsilon é o mesmo que |f(x)|<\varepsilon, ou seja, f(x) está dentro da bola de raio \varepsilon centrada em 0.
Em palavras compactas: dados \varepsilon>0, pode-se encontrar \delta>0 tal que sempre que x estiver dentro de \delta de -3 (mas não igual a -3), então f(x) estará dentro de \varepsilon de 0.

Passo 4

Como usar essa definição na prática — exemplo 1 (função contínua simples).
Considere a função
f(x)=x+3.
Vou mostrar que \lim_{x\to -3} f(x)=0 usando epsilon–delta.
Calcule a diferença:
|f(x)-0|=|x+3|.
Se eu escolher \delta=\varepsilon, então sempre que 0<|x+3|<\delta teremos imediatamente |f(x)-0|=|x+3|<\delta=\varepsilon. Logo, para cada \varepsilon>0 existe \delta=\varepsilon que funciona, provando o limite. Este exemplo é intuitivo: f(x)=x+3 é linear e passa por (-3,0), então conforme x se aproxima de -3, f(x) se aproxima de 0.

Passo 5

Exemplo 2 (limite existe mesmo se o valor no ponto for diferente).
Mostro agora uma função que tem limite 0\) em \(-3\) mas cujo valor em \(-3\) é outro número. Defina \[f(x)=\begin{cases} x+3, & x\neq -3,\\[4pt] 5, & x=-3. \end{cases}
Para x\neq -3\] temos \(f(x)=x+3, então exatamente o mesmo cálculo do passo anterior dá |f(x)-0|=|x+3|. Usando \delta=\varepsilon obtemos que sempre que 0<|x+3|<\delta então |f(x)-0|<\varepsilon. Portanto \lim_{x\to -3} f(x)=0 apesar de f(-3)=5. Isso ilustra que o limite depende apenas dos valores próximos ao ponto, não do valor no ponto.]

Passo 6

Exemplo 3 (função não definida em -3, mas limite existe).
Considere
g(x)=\frac{(x+3)^2}{x+3}\quad\text{para }x\neq -3,
e suponha que g não esteja definida em -3 (ou seja, o domínio exclui -3). Para x\neq -3 simplifica-se g(x)=x+3, logo o comportamento perto de -3 é o mesmo dos exemplos anteriores e \lim_{x\to -3} g(x)=0. Assim, a existência do limite não exige que f tenha valor definido em -3.

Passo 7

Observações úteis para a prova e para a prova em exame.
  • Ao provar um limite do tipo \lim_{x\to a} f(x)=L via epsilon–delta, o padrão é controlar |f(x)-L| por alguma expressão em |x-a| e, a partir daí, escolher \delta em função de \varepsilon. Em muitos exemplos simples (polinômios, funções lineares, etc.) pode-se escolher \delta diretamente igual a \varepsilon ou a uma constante vezes \varepsilon.
  • Lembre que o limite é sobre x aproximando -3, não necessariamente x igual a -3. Portanto sempre verifique a condição 0<|x+3|<\delta nas hipóteses formais.
  • Um erro comum é confundir “ \lim_{x\to -3} f(x)=0” com “ f(-3)=0”. São afirmações distintas; ambas podem ser verdadeiras ao mesmo tempo (quando f é contínua em -3), mas não precisam ser.

Resposta

Significado informal: Conforme [x) se aproxima de -3 (pela direita ou esquerda), os valores f(x) se aproximam de 0; o comportamento em torno de -3 tende a 0, independentemente de f(-3).
Definição formal (epsilon–delta):
\text{Para todo }\varepsilon>0\\ \text{existe}\\ \delta>0\\ \text{tal que, se }0<|x+3|<\delta,\\ \text{então }|f(x)-0|<\varepsilon.ã
Exemplo(s) de função com esse limite:
  1. f(x)=x+3. Então |f(x)-0|=|x+3| e escolher \delta=\varepsilon prova o limite.
  2. f(x)=\begin{cases}x+3,&x\neq-3,\\[4pt]5,&x=-3,\end{cases}\] tem \(\lim_{x\to -3}f(x)=0 embora f(-3)=5.
  3. g(x)=\dfrac{(x+3)^2}{x+3} para x\neq-3 (não definida em -3) também satisfaz \lim_{x\to -3}g(x)=0.]

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