Explique, com suas palavras, os significados de cada uma das equações abaixo e escreva o significado matemático preciso de cada expressão. Em cada caso, dê um exemplo de uma função que satisfaça a condição dada.
Passo 1
O enunciado dá a afirmação
e pede que eu explique, com minhas palavras, o significado dessa equação, escreva o significado matemático preciso (a definição formal) e, por fim, apresente um exemplo de função que satisfaça essa condição. Portanto as tarefas são:
- Explicar em palavras o que quer dizer
. - Escrever a definição formal (epsilon–delta) dessa igualdade.
- Dar ao menos um exemplo de função cuja limite em
seja (posso mostrar mais de um caso ilustrativo).
Passo 2
Intuição / explicação em palavras (versão simples e direta).
Dizer que
significa que, quando
se aproxima cada vez mais de
(por valores maiores ou menores, vindo pela direita ou pela esquerda), os valores de
ficam cada vez mais próximos de
. Importante: isso fala apenas do comportamento de
quando
está próximo de
, não diz nada obrigatório sobre o valor
. Ou seja, pode ser que
, pode ser que
seja outro número, ou pode ser que
nem esteja definida em
; a afirmação do limite continua verdadeira desde que os valores de
perto de
tendam a
.
Passo 3
Definição formal (epsilon–delta) e explicação dos quantificadores.
A forma precisa dessa afirmação é:
Vou explicar cada parte desta frase:
-
é qualquer tolerância desejada para a distância entre e . Pense em como “quão perto de ” eu quero que esteja. - Dizer “para todo
” significa que isso funciona para qualquer nível de proximidade, por pequeno que seja. - Para cada
existe um : isto dá a ligação entre a proximidade em e a proximidade em . O diz quão perto de eu preciso escolher para garantir que esteja dentro da tolerância . - A condição
significa que consideramos diferentes de (o exclui o próprio ponto) mas arbitrariamente próximos de . - A conclusão
é o mesmo que , ou seja, está dentro da bola de raio centrada em .
Em palavras compactas: dados
, pode-se encontrar
tal que sempre que
estiver dentro de
de
(mas não igual a
), então
estará dentro de
de
.
Passo 4
Como usar essa definição na prática — exemplo 1 (função contínua simples).
Considere a função
Vou mostrar que
usando epsilon–delta.
Calcule a diferença:
Se eu escolher
, então sempre que
teremos imediatamente
. Logo, para cada
existe
que funciona, provando o limite. Este exemplo é intuitivo:
é linear e passa por
, então conforme
se aproxima de
,
se aproxima de
.
Passo 5
Exemplo 2 (limite existe mesmo se o valor no ponto for diferente).
Mostro agora uma função que tem limite
Para
, então exatamente o mesmo cálculo do passo anterior dá
. Usando
obtemos que sempre que
então
. Portanto
apesar de
. Isso ilustra que o limite depende apenas dos valores próximos ao ponto, não do valor no ponto.]
Passo 6
Exemplo 3 (função não definida em
, mas limite existe).
Considere
e suponha que
não esteja definida em
(ou seja, o domínio exclui
). Para
simplifica-se
, logo o comportamento perto de
é o mesmo dos exemplos anteriores e
. Assim, a existência do limite não exige que
tenha valor definido em
.
Passo 7
Observações úteis para a prova e para a prova em exame.
- Ao provar um limite do tipo
via epsilon–delta, o padrão é controlar por alguma expressão em e, a partir daí, escolher em função de . Em muitos exemplos simples (polinômios, funções lineares, etc.) pode-se escolher diretamente igual a ou a uma constante vezes . - Lembre que o limite é sobre
aproximando , não necessariamente igual a . Portanto sempre verifique a condição nas hipóteses formais. - Um erro comum é confundir “
” com “ ”. São afirmações distintas; ambas podem ser verdadeiras ao mesmo tempo (quando é contínua em ), mas não precisam ser.
Resposta
Significado informal: Conforme [x) se aproxima de
(pela direita ou esquerda), os valores
se aproximam de
; o comportamento em torno de
tende a
, independentemente de
.
Definição formal (epsilon–delta):
Exemplo(s) de função com esse limite:
-
. Então e escolher prova o limite. -
embora
. -
para (não definida em ) também satisfaz .]