Explique, com suas palavras, os significados de cada uma das equações abaixo e escreva o significado matemático preciso de cada expressão. Em cada caso, dê um exemplo de uma função que satisfaça a condição dada.
\lim _{h \rightarrow 0^{+}} f(x)=-\infty

Passo 1

O enunciado pede três coisas para a expressão fornecida \lim_{h\to 0^{+}} f(x) = -\infty:
  • Explicar, com palavras minhas, o que essa expressão quer dizer.
  • Escrever o significado matemático preciso (a definição formal) dessa expressão.
  • Dar um exemplo de uma função que satisfaça a condição.
Observação importante (ambiguidade de notação): a expressão usa a variável de limite h e dentro da função aparece x. Isso é inconsistente: normalmente a variável que tende a algo deve aparecer como argumento da função. Para prosseguir de forma que faça sentido, vou interpretar a expressão como sendo \lim_{x\to 0^{+}} f(x) = -\infty (ou, equivalentemente, \lim_{h\to 0^{+}} f(h) = -\infty). Se o enunciado original quisesse outra coisa (por exemplo \lim_{h\to0^+} f(x+h)) a ideia geral é parecida, e eu faria a mesma tradução das variáveis.

Passo 2

Explicação em palavras (intuitiva e informal):
A afirmação \lim_{x\to 0^{+}} f(x) = -\infty quer dizer: ao aproximarmos x de 0 vindo pela direita (valores positivos de x muito pequenos), os valores de f(x) ficam cada vez mais negativos, sem um limite numérico — isto é, podem ficar menores do que qualquer número negativo que você escolha. Em linguagem coloquial: perto de 0 pela direita, f(x) “cai” sem limite, vai para menos infinito.
Observações úteis:
  • Não significa que f(0) exista; a definição trata apenas do comportamento para x bastante próximos de 0, com x>0.
  • Não significa que f(x) fica apenas negativo: significa que fica tão negativo quanto se queira (arbitrariamente negativo).

Passo 3

Significado matemático preciso (definição formal):
A expressão \lim_{x\to 0^{+}} f(x) = -\infty significa o seguinte em linguagem lógica e matemática:
\forall M>0\\ \exists \delta>0\\ \text{ tal que }\\\ 0<x<\delta \Rightarrow f(x)<-M.
Explicando cada parte:
  • \forall M>0: “para todo M positivo” — aqui M representa um número positivo arbitrário que serve de limite de referência (por exemplo M=1000 significa que queremos que f(x) seja menor que -1000).
  • \exists \delta>0: “existe um \delta positivo” — esse \delta determina quão perto de 0 devemos escolher x.
  • A implicação 0<x<\delta \Rightarrow f(x)<-M: sempre que x estiver no intervalo (0,\delta) (ou seja, x é positivo e suficientemente pequeno), o valor f(x) será menor que -M (ou seja, tão negativo quanto o M escolhido).
Repare que usamos 0<x<\delta e não |x-0|<\delta porque estamos aproximando por valores à direita de 0 (o sinal + em 0^{+} significa aproximação pela direita).

Passo 4

Exemplo concreto e prova passo a passo que ele satisfaz a condição:
Escolho a função simples
f(x) = -\dfrac{1}{x},\qquad x>0.
Vou provar que \lim_{x\to 0^{+}} -\dfrac{1}{x} = -\infty usando a definição formal dada no Passo 3.
Dado um M>0 arbitrário, queremos encontrar \delta>0 tal que, sempre que 0<x<\delta, tenhamos -\dfrac{1}{x} < -M.
Trabalho com desigualdades (passos bem claros):
  • A condição -\dfrac{1}{x} < -M é equivalente a \dfrac{1}{x} > M.
  • \dfrac{1}{x} > M é equivalente (porque M>0 e x>0) a x < \dfrac{1}{M}.
Logo, se eu escolher
\delta = \dfrac{1}{M},
então sempre que 0<x<\delta teremos x<\dfrac{1}{M}, o que implica \dfrac{1}{x}>M, e então -\dfrac{1}{x} < -M. Isso mostra exatamente que para todo M>0 existe \delta>0 (aqui \delta=1/M) satisfazendo a condição da definição. Portanto \lim_{x\to 0^{+}} -\dfrac{1}{x} = -\infty.

Passo 5

Outros exemplos rápidos e comentários práticos:
Exemplos de funções que também satisfazem \lim_{x\to 0^{+}} f(x) = -\infty:
  • \displaystyle f(x)=\ln x para x>0. De fato, \ln x\to -\infty quando x\to 0^{+}.
  • \displaystyle f(x)=-\dfrac{1}{x^{2}} para x\neq 0. Também diverge para -\infty quando x\to 0^{+}.
Contraexemplo importante para atenção: a função
g(x)=\dfrac{\sin(1/x)}{x}
não tem \lim_{x\to 0^{+}} g(x) = -\infty, mesmo que tenha termos muito negativos perto de 0, porque ela oscila e também atinge valores positivos arbitrariamente grandes — para que o limite fosse -\infty seria necessário que os valores ficassem sempre abaixo de -M para x suficientes próximos de 0, o que não acontece aqui. Portanto, é imprescindível que a função fique sempre (a partir de algum ponto perto de 0) abaixo de -M, para todo M.

Passo 6

Dicas rápidas para prova em prova/exame (como demonstrar que um limite é -\infty):
  1. Identifique um modo de transformar a condição f(x)<-M em uma desigualdade simples em x (ex.: manipular para obter x< alguma expressão em M).
  2. Dado M>0, escolha \delta explicitamente em função de M (muitas vezes \delta será algo como 1/M, e^{-M}, etc., dependendo da função).
  3. Mostre a implicação: se 0<x<\delta então f(x)<-M.
  4. Lembre-se: provar que o limite é -\infty exige isso para todo M>0. Não basta mostrar que a função fica negativa ou que tem subidas e descidas.
Força aí — dá para aprender isso com alguns exemplos e depois, na prova, aplicar essa receita básica.

Resposta

Significado formal: \displaystyle \lim_{x\to 0^{+}} f(x) = -\infty significa \displaystyle \forall M>0\\ \exists \delta>0\\ \text{ tal que }\\\ 0<x<\delta \Rightarrow f(x)<-M.
Exemplo: f(x)=-\dfrac{1}{x} para x>0 (tem-se \displaystyle \lim_{x\to 0^{+}} -\dfrac{1}{x} = -\infty).

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