Explique, com suas palavras, os significados de cada uma das equações abaixo e escreva o significado matemático preciso de cada expressão. Em cada caso, dê um exemplo de uma função que satisfaça a condição dada.
Passo 1
O enunciado pede três coisas para a expressão fornecida
:
- Explicar, com palavras minhas, o que essa expressão quer dizer.
- Escrever o significado matemático preciso (a definição formal) dessa expressão.
- Dar um exemplo de uma função que satisfaça a condição.
Observação importante (ambiguidade de notação): a expressão usa a variável de limite
e dentro da função aparece
. Isso é inconsistente: normalmente a variável que tende a algo deve aparecer como argumento da função. Para prosseguir de forma que faça sentido, vou interpretar a expressão como sendo
(ou, equivalentemente,
). Se o enunciado original quisesse outra coisa (por exemplo
) a ideia geral é parecida, e eu faria a mesma tradução das variáveis.
Passo 2
Explicação em palavras (intuitiva e informal):
A afirmação
quer dizer: ao aproximarmos
de
vindo pela direita (valores positivos de
muito pequenos), os valores de
ficam cada vez mais negativos, sem um limite numérico — isto é, podem ficar menores do que qualquer número negativo que você escolha. Em linguagem coloquial: perto de
pela direita,
“cai” sem limite, vai para menos infinito.
Observações úteis:
- Não significa que
exista; a definição trata apenas do comportamento para bastante próximos de , com . - Não significa que
fica apenas negativo: significa que fica tão negativo quanto se queira (arbitrariamente negativo).
Passo 3
Significado matemático preciso (definição formal):
A expressão
significa o seguinte em linguagem lógica e matemática:
Explicando cada parte:
-
: “para todo positivo” — aqui representa um número positivo arbitrário que serve de limite de referência (por exemplo significa que queremos que seja menor que ). -
: “existe um positivo” — esse determina quão perto de devemos escolher . - A implicação
: sempre que estiver no intervalo (ou seja, é positivo e suficientemente pequeno), o valor será menor que (ou seja, tão negativo quanto o escolhido).
Repare que usamos
e não
porque estamos aproximando por valores à direita de
(o sinal
em
significa aproximação pela direita).
Passo 4
Exemplo concreto e prova passo a passo que ele satisfaz a condição:
Escolho a função simples
Vou provar que
usando a definição formal dada no Passo 3.
Dado um
arbitrário, queremos encontrar
tal que, sempre que
, tenhamos
.
Trabalho com desigualdades (passos bem claros):
- A condição
é equivalente a . -
é equivalente (porque e ) a .
Logo, se eu escolher
então sempre que
teremos
, o que implica
, e então
. Isso mostra exatamente que para todo
existe
(aqui
) satisfazendo a condição da definição. Portanto
.
Passo 5
Outros exemplos rápidos e comentários práticos:
Exemplos de funções que também satisfazem
:
-
para . De fato, quando . -
para . Também diverge para quando .
Contraexemplo importante para atenção: a função
não tem
, mesmo que tenha termos muito negativos perto de
, porque ela oscila e também atinge valores positivos arbitrariamente grandes — para que o limite fosse
seria necessário que os valores ficassem sempre abaixo de
para
suficientes próximos de
, o que não acontece aqui. Portanto, é imprescindível que a função fique sempre (a partir de algum ponto perto de
) abaixo de
, para todo
.
Passo 6
Dicas rápidas para prova em prova/exame (como demonstrar que um limite é
):
- Identifique um modo de transformar a condição
em uma desigualdade simples em (ex.: manipular para obter alguma expressão em ). - Dado
, escolha explicitamente em função de (muitas vezes será algo como , , etc., dependendo da função). - Mostre a implicação: se
então . - Lembre-se: provar que o limite é
exige isso para todo . Não basta mostrar que a função fica negativa ou que tem subidas e descidas.
Força aí — dá para aprender isso com alguns exemplos e depois, na prova, aplicar essa receita básica.
Resposta
Significado formal:
significa
Exemplo: para
(tem-se
).
Exemplo: