Explique, com suas palavras, os significados de cada uma das equações abaixo e escreva o significado matemático preciso de cada expressão. Em cada caso, dê um exemplo de uma função que satisfaça a condição dada.
\lim _{x \rightarrow 0^{-}} f(x)=-9

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e o que ele dá. O enunciado fornece a expressão
\lim_{x\to 0^-} f(x) = -9.
O pedido é:
  • explicar com palavras o que essa expressão significa;
  • escrever o significado matemático preciso (a definição formal, tipo epsilon‑delta) da expressão;
  • dar um exemplo de uma função que satisfaça essa condição (isto é, cujo limite por à esquerda em 0 seja -9).

Passo 2

Intuição em palavras (explicação coloquial): dizer que \lim_{x\to 0^-} f(x) = -9 significa que, quando pegamos valores de x que vêm pela esquerda de 0 (ou seja, valores negativos que se aproximam de 0), os valores f(x) ficam cada vez mais próximos de -9. Não importa o que aconteça com f(0) ou com f(x) quando x>0: só olhamos para os x menores que 0 e nos aproximando de 0. Em linguagem bem simples: “aproximações pela esquerda levam f(x) para -9”.

Passo 3

Significado matemático preciso (definição epsilon‑delta para limite pela esquerda). A expressão \lim_{x\to 0^-} f(x) = -9 quer dizer o seguinte:
\text{Para todo }\varepsilon>0\\ \text{existe }\delta>0\\ \text{tal que, sempre que }x<0\\ \text{e }0<|x-0|<\delta,\\ \text{então }|f(x)-(-9)|<\varepsilon.ã
Colocando isso de forma levemente mais direta:
\forall \varepsilon>0\\ \exists \delta>0\\ \text{ tal que, se } -\delta < x < 0,\\ \text{então }|f(x)+9|<\varepsilon.ã
(Duas observações: a condição x<0 assegura que só consideramos aproximações pela esquerda; o sinal 0<|x-0|<\delta serve para excluir a verificação exatamente em x=0 caso f(0) não esteja definido ou seja diferente.)

Passo 4

Explicando peça a peça o significado da definição epsilon‑delta:
  • \varepsilon>0 representa “o quão perto queremos que f(x) esteja de -9”. Por exemplo, \varepsilon=0,1 significa “queremos f(x) dentro do intervalo (-9-0,1,\,-9+0,1)”.
  • \delta>0 diz “até que distância à esquerda de 0 precisamos pegar x para garantir essa proximidade em f(x)”. Ou seja: se x está entre -\delta e 0, então f(x) entra no intervalo desejado de raio \varepsilon em torno de -9.
  • O requisito “para todo \varepsilon>0 existe \delta>0” significa que dá para tornar f(x) tão próximo de -9 quanto se queira, bastando escolher x suficientemente perto de 0 pela esquerda.

Passo 5

Exemplo simples (constante à esquerda). Defina uma função f\) por \[f(x)=\begin{cases} -9, & x\le 0,\\[4pt] 0, & x>0. \end{cases}
Nesta função, sempre que x<0\] temos \(f(x)=-9; portanto claramente \lim_{x\to 0^-} f(x)=-9. Aqui o limite pela esquerda é -9 mesmo que f(0)=-9 coincida; mas nem é necessário que f(0) seja -9.]

Passo 6

Exemplo não trivial e demonstração epsilon‑delta. Considere a função
f(x)=\begin{cases} -9 + x, & x<0,\\[4pt] 100, & x\ge 0. \end{cases}
Para x<0 temos |f(x)+9| = |x|. Agora mostro formalmente que \lim_{x\to 0^-} f(x)=-9 usando a definição epsilon‑delta:
Seja \varepsilon>0 dado. Escolha \delta=\varepsilon. Então, se x<0 e 0<|x-0|<\delta (isto é, se -\delta<x<0), obtemos
|f(x)+9| = |x| < \delta = \varepsilon.
Portanto, para esse \delta a condição da definição é satisfeita, e como a escolha funcionou para todo \varepsilon>0, concluímos que \lim_{x\to 0^-} f(x)=-9.]

Passo 7

Observações úteis para a prova/exame (dicas rápidas e encorajamento):
  • O limite pela esquerda não exige nada sobre \lim_{x\to 0^+} f(x) nem sobre f(0). São coisas independentes.
  • Para provar que \lim_{x\to 0^-} f(x)=L muitas vezes basta estimar |f(x)-L| por alguma função de |x| e mostrar que essa função vai a 0 quando x\to 0. No exemplo acima, mostramos |f(x)+9|=|x|, então bastou escolher \delta=\varepsilon.
  • Você consegue! Pense: escolha um \varepsilon pequeno (o professor te dá), mostre que existe \delta correspondente (você escolhe) e verifique a desigualdade. Repetir esse esquema passo a passo resolve provas de limites formais.

Resposta

A expressão significa que, ao aproximar x\) de \(0\) vindo pela esquerda (valores \(x<0\)), os valores \(f(x)\) ficam arbitrariamente próximos de \(-9\). \(\displaystyle \forall \varepsilon>0\\ \exists \delta>0\\ \text{ tal que se }x<0\text{ e }0<|x-0|<\delta\text{ então }|f(x)+9|<\varepsilon.\) Exemplo que satisfaz: \(f(x)=\begin{cases}-9+x,&x<0,\\[4pt]100,&x\ge0.\end{cases} (aqui \lim_{x\to0^-}f(x)=-9).]

Exercícios relacionados