Explique, com suas palavras, os significados de cada uma das equações abaixo e escreva o significado matemático preciso de cada expressão. Em cada caso, dê um exemplo de uma função que satisfaça a condição dada.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e o que ele dá. O enunciado fornece a expressão
O pedido é:
- explicar com palavras o que essa expressão significa;
- escrever o significado matemático preciso (a definição formal, tipo epsilon‑delta) da expressão;
- dar um exemplo de uma função que satisfaça essa condição (isto é, cujo limite por à esquerda em
seja ).
Passo 2
Intuição em palavras (explicação coloquial): dizer que
significa que, quando pegamos valores de
que vêm pela esquerda de
(ou seja, valores negativos que se aproximam de
), os valores
ficam cada vez mais próximos de
. Não importa o que aconteça com
ou com
quando
: só olhamos para os
menores que
e nos aproximando de
. Em linguagem bem simples: “aproximações pela esquerda levam
para
”.
Passo 3
Significado matemático preciso (definição epsilon‑delta para limite pela esquerda). A expressão
quer dizer o seguinte:
Colocando isso de forma levemente mais direta:
(Duas observações: a condição
assegura que só consideramos aproximações pela esquerda; o sinal
serve para excluir a verificação exatamente em
caso
não esteja definido ou seja diferente.)
Passo 4
Explicando peça a peça o significado da definição epsilon‑delta:
-
representa “o quão perto queremos que esteja de ”. Por exemplo, significa “queremos dentro do intervalo ”. -
diz “até que distância à esquerda de precisamos pegar para garantir essa proximidade em ”. Ou seja: se está entre e , então entra no intervalo desejado de raio em torno de . - O requisito “para todo
existe ” significa que dá para tornar tão próximo de quanto se queira, bastando escolher suficientemente perto de pela esquerda.
Passo 5
Exemplo simples (constante à esquerda). Defina uma função
Nesta função, sempre que
; portanto claramente
. Aqui o limite pela esquerda é
mesmo que
coincida; mas nem é necessário que
seja
.]
Passo 6
Exemplo não trivial e demonstração epsilon‑delta. Considere a função
Para
temos
. Agora mostro formalmente que
usando a definição epsilon‑delta:
Seja
dado. Escolha
. Então, se
e
(isto é, se
), obtemos
Portanto, para esse
a condição da definição é satisfeita, e como a escolha funcionou para todo
, concluímos que
.]
Passo 7
Observações úteis para a prova/exame (dicas rápidas e encorajamento):
- O limite pela esquerda não exige nada sobre
nem sobre . São coisas independentes. - Para provar que
muitas vezes basta estimar por alguma função de e mostrar que essa função vai a quando . No exemplo acima, mostramos , então bastou escolher . - Você consegue! Pense: escolha um
pequeno (o professor te dá), mostre que existe correspondente (você escolhe) e verifique a desigualdade. Repetir esse esquema passo a passo resolve provas de limites formais.
Resposta
A expressão significa que, ao aproximar
(aqui
).]