Explique, com suas palavras, os significados de cada uma das equações abaixo e escreva o significado matemático preciso de cada expressão. Em cada caso, dê um exemplo de uma função que satisfaça a condição dada.
\lim _{x \rightarrow 0} f(x)=-\infty

Passo 1

O enunciado nos dá a igualdade
\lim_{x\to 0} f(x) = -\infty
e pede três coisas: (1) explicar com palavras o que isso significa; (2) escrever o significado matemático preciso da expressão; (3) dar um exemplo de uma função que satisfaça essa condição. As informações dadas são apenas essa expressão do limite.

Passo 2

Explicação em linguagem simples e intuitiva (o que isso quer dizer no gráfico e nos valores):
  • Dizer que \lim_{x\to 0} f(x) = -\infty significa que, ao nos aproximarmos de x=0 (tanto pela direita quanto pela esquerda), os valores de f(x) ficam cada vez mais negativos, sem limite inferior — isto é, caem para menos infinito.
  • Na prática: para qualquer número negativo muito grande que você escolher (por exemplo, -1000, -10^{6}, -10^{100}), existe um intervalo em torno de 0 (tirando o próprio 0 se f não estiver definido lá) tal que, dentro desse intervalo, todos os valores de f(x) são menores (mais negativos) que o número escolhido.
  • Visualmente: o gráfico de f aproxima-se de uma “queda” infinita ao redor de x=0.

Passo 3

Significado matemático preciso (definição com quantificadores). Uma forma comum e correta de escrever a definição é:
\forall M>0\\ \exists \delta>0\\ \text{ tal que }\\\ 0<|x|<\delta \Rightarrow f(x)<-M.
Agora explico o que cada símbolo/variável representa:
  • \forall M>0 quer dizer “para todo M positivo” — aqui M mede a magnitude positiva; pedir f(x)<-M significa pedir que f(x) seja pelo menos M unidades abaixo de zero.
  • \exists \delta>0 quer dizer “existe um \delta positivo” — esse \delta determina quão perto de 0 (em termos de distância em x) precisamos ficar.
  • A condição 0<|x|<\delta significa que olhamos pontos x próximos de 0, excluindo possivelmente x=0 (caso f(0) não esteja definido).
  • A implicação 0<|x|<\delta \Rightarrow f(x)<-M formaliza: se estamos suficientemente perto de 0, então f(x) será menor que -M, isto é, bastante negativo.

Passo 4

Relação com a definição de limite finito (para comparar e fixar a ideia):
  • Para \lim_{x\to 0} f(x)=L finito, a definição usa \varepsilon>0 e dita que f(x) fica dentro de \varepsilon de L quando x está próximo de 0.
  • Para \lim_{x\to 0} f(x)=-\infty, não há número finito L que seja limite; em vez disso usamos a condição “ f(x) fica menor que -M” para qualquer M>0. É a versão “infinita” do conceito de aproximação.

Passo 5

Exemplo natural e verificação detalhada: escolha
f(x)=-\frac{1}{x^{2}},\qquad x\neq 0.
Vou provar que \lim_{x\to 0} f(x) = -\infty usando a definição formal que escrevi.
Prova passo a passo:
  • Tome um M>0 qualquer (lembrando que M é positivo).
  • Queremos encontrar \delta>0 tal que 0<|x|<\delta implique -\dfrac{1}{x^{2}}<-M.
  • A desigualdade -\dfrac{1}{x^{2}}<-M é equivalente (multiplicando por -1 e invertendo o sinal) a \dfrac{1}{x^{2}}>M.
  • A desigualdade \dfrac{1}{x^{2}}>M equivale a x^{2}<\dfrac{1}{M}, que por sua vez é |x|<\dfrac{1}{\sqrt{M}}.
  • Logo, se tomarmos \delta=\dfrac{1}{\sqrt{M}}, então qualquer x com 0<|x|<\delta satisfaz -\dfrac{1}{x^{2}}<-M.
  • Isso mostra exatamente a condição da definição, então \lim_{x\to 0} -\dfrac{1}{x^{2}} = -\infty.

Passo 6

Outro exemplo útil (mais suave): f(x)=\ln|x| para x\neq 0.
  • Sabendo que \lim_{t\to 0^+}\ln t = -\infty, temos \lim_{x\to 0}\ln|x|=-\infty.
  • Verificação rápida: dado M>0, queremos \ln|x|<-M. Isso é equivalente a |x|<e^{-M}. Então escolha \delta=e^{-M}. Com isso, 0<|x|<\delta implica \ln|x|<-M.

Passo 7

Dicas práticas para provas/exame (como abordar rapidamente):
  • Reescreva a condição que quer obter (por exemplo, f(x)<-M) e manipule algebricamente até obter uma condição do tipo |x-a|<\delta (aqui a=0).
  • Determine \delta a partir dessa manipulação; frequentemente \delta será uma função de M.
  • Tenha cuidado com funções que têm comportamentos diferentes à direita e à esquerda de 0: a afirmação \lim_{x\to 0} f(x)=-\infty exige o mesmo comportamento nas duas direções. Se só uma das direções for -\infty, deve-se escrever \lim_{x\to 0^+} ou \lim_{x\to 0^-}.
  • Exemplos padrão para memorizar: -1/x^{2}, -1/|x|, \ln|x|.

Resposta

\forall M>0\\ \exists \delta>0\\ \text{ tal que }\\\ 0<|x|<\delta \Rightarrow f(x)<-M.\n \displaystyle f(x)=-\frac{1}{x^{2}} (para x\neq 0), que satisfaz \lim_{x\to 0}f(x)=-\infty.

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